東京大学 2006年度理系数学第1問解答・解説

問題

$O$ を原点とする座標平面上の4点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ で，条件

O P_{n - 1} + O P_{n + 1} = \frac{3}{2} O P_{n} (n = 2, 3)

を満たすものを考える。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $P_{1}$ ， $P_{2}$ が曲線 $x y = 1$ 上にあるとき， $P_{3}$ はこの曲線上にはないことを示せ。

(2) $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ が円周 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上にあるとき， $P_{4}$ もこの円周上にあることを示せ。

出典：東京大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

位置ベクトルを $p_{n} = O P_{n}$ と書くと，条件は $p_{n + 1} = \frac{3}{2} p_{n} - p_{n - 1}$ である。(1)は $P_{1} = (a, 1/ a), P_{2} = (b, 1/ b)$ とおき， $P_{3}$ の座標積が1にならないことを計算で示す。(2)は座標計算より内積が有効で， $∣ p_{1} ∣ = ∣ p_{2} ∣ = ∣ p_{3} ∣ = 1$ と $p_{1} + p_{3} = \frac{3}{2} p_{2}$ から必要な内積を求め， $∣ p_{4} ∣ = 1$ を示す。

解答

(1)

$P_{1} = (a, \frac{1}{a}), P_{2} = (b, \frac{1}{b})$ とおく。ただし $a, b \neq = 0$ である。条件を $n = 2$ に対して用いると

O P_{1} + O P_{3} = \frac{3}{2} O P_{2}

であるから

O P_{3} = \frac{3}{2} O P_{2} - O P_{1}

である。したがって $P_{3} = (\frac{3}{2} b - a, \frac{3}{2 b} - \frac{1}{a})$ である。

この点が曲線 $x y = 1$ 上にあるかどうかを調べる。座標の積は

(\frac{3}{2} b - a) (\frac{3}{2 b} - \frac{1}{a}) = \frac{9}{4} - \frac{3 b}{2 a} - \frac{3 a}{2 b} + 1

である。したがって

(\frac{3}{2} b - a) (\frac{3}{2 b} - \frac{1}{a}) - 1 = \frac{9}{4} - \frac{3 b}{2 a} - \frac{3 a}{2 b} = - \frac{3 ( 2 a ^{2} - 3 ab + 2 b ^{2} )}{4 ab}

である。ここで $2 a^{2} - 3 ab + 2 b^{2} = \frac{1}{2} (a - b)^{2} + \frac{3}{2} (a^{2} + b^{2} - ab) > 0$ である。よって上の値は0ではない。したがって $(\frac{3}{2} b - a) (\frac{3}{2 b} - \frac{1}{a}) \neq = 1$ であり， $P_{3}$ は曲線 $x y = 1$ 上にはない。

(2)

u = O P_{1}, v = O P_{2}, w = O P_{3}

とおく。仮定より $∣ u ∣ = ∣ v ∣ = ∣ w ∣ = 1$ である。また条件から $u + w = \frac{3}{2} v$ である。両辺の長さの2乗を比べると $∣ u + w ∣^{2} = \frac{3}{2} v^{2}$ なので $1 + 1 + 2 u \cdot w = \frac{9}{4}$ となる。よって $u \cdot w = \frac{1}{8}$ である。

また $v = \frac{2}{3} (u + w)$ であるから

v \cdot w = \frac{2}{3} (u \cdot w + ∣ w ∣^{2}) = \frac{2}{3} (\frac{1}{8} + 1) = \frac{3}{4}

である。

条件を $n = 3$ に対して用いると $v + O P_{4} = \frac{3}{2} w$ なので $O P_{4} = \frac{3}{2} w - v$ である。したがって

O P_{4}^{2} = \frac{3}{2} w - v^{2} = \frac{9}{4} ∣ w ∣^{2} + ∣ v ∣^{2} - 3 v \cdot w = \frac{9}{4} + 1 - 3 \cdot \frac{3}{4} = 1

である。よって $P_{4} も円周 x^{2} + y^{2} = 1 上にある$ ことが示された。

東京大学 2006年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2006年度
理系数学第1問