東京大学 2003年度
理系数学 第6問

解答

半径1の円を考える。この円の円周は $2\pi$ である。

この円に内接する正12角形をとる。中心角は $\frac{360^{\circ }}{12}=30^{\circ }$ であるから、正12角形の一辺の長さは $2\sin 15^{\circ }$ である。内接多角形の周の長さは円周より小さいので $12\cdot 2\sin 15^{\circ }<2\pi$ である。したがって $\pi >12\sin 15^{\circ }$ を得る。

次に $\sin 15^{\circ }$ を求める。加法定理より $\sin 15^{\circ }=\sin (45^{\circ }-30^{\circ })$

である。よって $\pi >12\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}=3(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ である。

ここで根号を分数で評価する。 ${\left(\frac{22}{9}\right)}^2=\frac{484}{81}<\frac{486}{81}=6$ だから $\sqrt{6}>\frac{22}{9}$ である。また ${\left(\frac{17}{12}\right)}^2=\frac{289}{144}>\frac{288}{144}=2$ だから $\sqrt{2}<\frac{17}{12}$ である。したがって

であり、$\pi >3(\sqrt{6}-\sqrt{2})>3\cdot \frac{37}{36}=\frac{37}{12}$ である。

最後に $\frac{37}{12}>\frac{366}{120}=\frac{61}{20}=3.05$ である。よって $\boxed{\pi >3.05}$ が示された。