問題
を原点とする複素数平面上で6を表す点を，を表す点をとする。ただし，は虚数単位である。正の実数に対し，を表す点をとる。
(1) を求めよ。
(2) 線分の長さが最大になるを求めよ。
出典：東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
(1)は複素数のまま、 を点 の表す複素数として を計算すると、偏角が一定であることが分かる。これは から見た の方向の差を表す。(2)は として分母を有理化し、 を の関数にして最大化する。長さそのものではなく2乗を最大化すればよい。
解答
点 の表す複素数を とおく。
(1)
の表す複素数は6、 の表す複素数は である。 から , へ向かうベクトルは、複素数でそれぞれ と表される。したがって、2つの向きの差は比 の偏角で分かる。
まず通分して整理する。分母を とおくと である。分子は だから である。同様に であり、分子は である。よって である。
したがって である。ここで だから である。 なので、この比の偏角は である。したがって2つの半直線 , のなす角は である。
(2)
とおく。分母を有理化すると である。したがって
である。ここで である。
したがって
である。 の最大化は の最大化と同じなので とおく。
微分すると である。分母は常に正だから、 の符号は で決まる。よって
である。
また
であり、 である。したがって最大値は で生じる。よって求める は である。
別解。(1)は実座標に直しても確認できる。上の を用いると であり、内積は である。また、2つのベクトルで作る平行四辺形の面積に対応する量も である。どちらも正なので であり、 から同じく を得る。