問題
2次方程式の2つの実数解のうち大きいものを，小さいものをとする。に対し，とおく。
(1) ，，を求めよ。また，に対し，をとで表せ。
(2) 以下の最大の整数を求めよ。
(3) 以下の最大の整数の1の位の数を求めよ。
出典：東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
解と係数の関係より , である。今回は なので、文科第3問と違って漸化式は になる。 は であるから、 の最大整数と の符号を丁寧に判断する。1の位は , から10で割った余りの周期4を読む。
解答
(1)
解と係数の関係より である。したがって であり、 である。また である。 , はともに の解なので を満たす。両辺に を掛けると、 について である。 を代入して足し合わせると を得る。
(2)
である。 より である。3乗しても負で、絶対値は1より小さいから である。したがって 以下の最大の整数は である。
(3)
とする。漸化式を10で割った余りで見ると である。初めから計算すると
である。したがって1の位は と周期4で繰り返す。 より、 の1の位は6である。
また は奇数であり、 だから である。したがって は を満たす。 は漸化式と初期値から整数であるため、 以下の最大の整数は である。よって求める1の位は である。