東京大学 2003年度理系数学第5問解答・解説

問題

さいころを $n$ 回振り，第1回目から第 $n$ 回目までに出たさいころの目の数 $n$ 個の積を $X_{n}$ とする。

(1) $X_{n}$ が5で割り切れる確率を求めよ。

(2) $X_{n}$ が4で割り切れる確率を求めよ。

(3) $X_{n}$ が20で割り切れる確率を $p_{n}$ とおく。 $n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g (1 - p_{n})$ を求めよ。

注意：さいころは1から6までの目が等確率で出るものとする。

出典：東京大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

積が5で割り切れるかは「5の目が少なくとも1回出るか」で決まる。(2)は4で割り切れない余事象を、積に含まれる2の因数の総数が0個または1個である場合として数える。(3)は $20 = 4 \cdot 5$ なので、 $1 - p_{n}$ を「5が一度も出ない」または「4で割り切れない」の和事象として包除原理で表す。最後は $(5/6)^{n}$ が最も減り方の遅い項であることを、割り算して確認してから対数の極限を取る。

解答

(1)

$X_{n}$ が5で割り切れるためには、 $n$ 回のうち少なくとも1回は5の目が出ればよい。逆に、5の目が一度も出なければ $X_{n}$ は5で割り切れない。

したがって余事象を用いて $P (X_{n} が 5 で割り切れる) = 1 - (\frac{5}{6})^{n}$ である。

(2)

積 $X_{n}$ が4で割り切れるかどうかは、積に含まれる2の因数の個数で決まる。さいころの目を2の因数の個数で分けると、 $1, 3, 5 は 2 の因数を 0 個含む,$ $2, 6 は 2 の因数を 1 個含む,$ $4 は 2 の因数を 2 個含む$ である。 $X_{n}$ が4で割り切れないのは、2の因数の総数が0個または1個の場合である。総数が0個となる確率は $(\frac{3}{6})^{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ である。総数が1個となるには、 $n$ 回のうち1回だけ $2, 6$ のどちらかが出て、残りは $1, 3, 5$ のいずれかであればよい。したがってその確率は

n \cdot \frac{2}{6} (\frac{3}{6})^{n - 1} = n \cdot \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1}

である。

よって

P (X_{n} が 4 で割り切れない) = (\frac{1}{2})^{n} + n \cdot \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1}

だから、求める確率は

1 - (\frac{1}{2})^{n} - n \cdot \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1}

である。

(3)

$X_{n}$ が20で割り切れることは、5で割り切れ、かつ4で割り切れることと同値である。したがって $X_{n}$ が20で割り切れない事象は $A : 5 が一度も出ない$ または $B : 4 で割り切れない$ の少なくとも一方が起こる事象である。

(1), (2)の余事象の計算から $P (A) = (\frac{5}{6})^{n}$ であり、 $P (B) = (\frac{1}{2})^{n} + n \cdot \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1}$ である。

次に $A \cap B$ を数える。5が出ないという条件のもとで、2の因数の総数が0個または1個であればよい。2の因数を含まない目は $1, 3$ の2個、2の因数をちょうど1個含む目は $2, 6$ の2個である。したがって、総数0個の確率は $(\frac{2}{6})^{n} = (\frac{1}{3})^{n}$ であり、総数1個の確率は $n \cdot \frac{2}{6} (\frac{2}{6})^{n - 1} = n (\frac{1}{3})^{n}$ である。よって $P (A \cap B) = \frac{n + 1}{3 ^{n}}$ である。

包除原理より $1 - p_{n} = P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ であるから

1 - p_{n} = (\frac{5}{6})^{n} + (\frac{1}{2})^{n} + n \cdot \frac{1}{3} (\frac{1}{2})^{n - 1} - \frac{n + 1}{3 ^{n}}

である。

ここで右辺を $(5/6)^{n}$ で割ると

\frac{1 - p _{n}}{( 5/6 ) ^{n}} = 1 + (\frac{3}{5})^{n} + \frac{2 n}{3} (\frac{3}{5})^{n - 1} - (n + 1) (\frac{2}{5})^{n}

である。右辺の第2項以降はいずれも0に近づくので $\frac{1 - p _{n}}{( 5/6 ) ^{n}} \to 1$ である。したがって $lo g (1 - p_{n}) = n lo g \frac{5}{6} + lo g (\frac{1 - p _{n}}{( 5/6 ) ^{n}})$ であり、第2項を $n$ で割ったものは0に近づく。よって $n \to \infty lim \frac{1}{n} lo g (1 - p_{n}) = lo g \frac{5}{6}$ である。

東京大学 2003年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 2003年度
理系数学第5問