東京大学 2003年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において，平面 $z = 0$ 上の原点を中心とする半径2の円を底面とし，点 $(0, 0, 1)$ を頂点とする円錐を $A$ とする。

次に，平面 $z = 0$ 上の点 $(1, 0, 0)$ を中心とする半径1の円を $H$ ，平面 $z = 1$ 上の点 $(1, 0, 1)$ を中心とする半径1の円を $K$ とする。 $H$ と $K$ を2つの底面とする円柱を $B$ とする。円錐 $A$ と円柱 $B$ の共通部分を $C$ とする。

$0 ≦ t ≦ 1$ を満たす実数 $t$ に対し，平面 $z = t$ による $C$ の切り口の面積を $S (t)$ とおく。

(1) $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ とする。 $t = 1 - cos θ$ のとき， $S (t)$ を $θ$ で表せ。

(2) $C$ の体積 $\int_{0}^{1} S (t) d t$ を求めよ。

出典：東京大学 2003年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

高さ $z = t$ で切ると、円錐側は中心 $(0, 0)$ 、半径 $2 (1 - t)$ の円板、円柱側は中心 $(1, 0)$ 、半径1の円板になる。 $t = 1 - cos θ$ と置けば円錐側の半径は $2 cos θ$ で、2円の交点が $(2 cos^{2} θ, \pm 2 sin θ cos θ)$ と求まる。そこから中心角を読み、2つの扇形の和から中心2点と交点2点でできる四角形の面積を引く。(2)は $d t = sin θ d θ$ に注意して積分する。

解答

高さ $z = t$ で平面切断する。円錐 $A$ は高さ0で半径2、高さ1で半径0になるので、切り口は $x^{2} + y^{2} ≦ 4 (1 - t)^{2}$ である。一方、円柱 $B$ の切り口は高さによらず $(x - 1)^{2} + y^{2} ≦ 1$ である。したがって $S (t)$ は、この2つの円板の共通部分の面積である。

(1)

$t = 1 - cos θ$ とおくと、円錐側の断面円の半径は $2 (1 - t) = 2 cos θ$ である。2つの円周の交点は $x^{2} + y^{2} = 4 cos^{2} θ, (x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ を満たす。2式を引くと $x^{2} + y^{2} - ((x - 1)^{2} + y^{2}) = 4 cos^{2} θ - 1$ より $2 x - 1 = 4 cos^{2} θ - 1$ であるから $x = 2 cos^{2} θ$ である。これを $x^{2} + y^{2} = 4 cos^{2} θ$ に代入して $y^{2} = 4 cos^{2} θ - 4 cos^{4} θ = 4 sin^{2} θ cos^{2} θ$ を得る。よって交点は $(2 cos^{2} θ, \pm 2 sin θ cos θ)$ である。

原点から見ると、交点の偏角は $\pm θ$ である。実際、円錐側の半径は $2 cos θ$ であり、交点の $x$ 座標は $2 cos^{2} θ$ だから、中心角の半分の余弦は $\frac{2 c o s ^{2} θ}{2 c o s θ} = cos θ$ である。したがって原点中心の円で共通部分に入る扇形の中心角は $2 θ$ で、その面積は $\frac{1}{2} (2 cos θ)^{2} \cdot 2 θ = 4 θ cos^{2} θ$ である。

一方、中心 $(1, 0)$ の半径1の円では、交点へ向かうベクトルは

(2 cos^{2} θ - 1, \pm 2 sin θ cos θ) = (cos 2 θ, \pm sin 2 θ)

である。したがって右側の小さい中心角は $4 θ$ であり、共通部分に入る左側の扇形の中心角は $2 π - 4 θ$ である。その面積は $\frac{1}{2} (2 π - 4 θ) = π - 2 θ$ である。

上の2つの扇形を足すと、2つの中心と2つの交点でできる四角形を二重に含む。この四角形は底辺を中心間の距離1、高さを $2 sin θ cos θ$ と見ると、面積 $2 sin θ cos θ$ をもつ。したがって $S (t) = 4 θ cos^{2} θ + π - 2 θ - 2 sin θ cos θ$ である。 $4 θ cos^{2} θ - 2 θ = 2 θ (2 cos^{2} θ - 1) = 2 θ cos 2 θ$ 、また $2 sin θ cos θ = sin 2 θ$ だから $S (t) = π + 2 θ cos 2 θ - sin 2 θ$ である。

(2)

$t = 1 - cos θ$ より $d t = sin θ d θ$ である。また $t = 0$ のとき $θ = 0$ 、 $t = 1$ のとき $θ = π /2$ である。したがって体積は

\int_{0}^{1} S (t) d t = \int_{0}^{π /2} (π + 2 θ cos 2 θ - sin 2 θ) sin θ d θ

である。

各項を計算する。まず $\int_{0}^{π /2} π sin θ d θ = π$ である。次に $2 cos 2 θ sin θ = sin 3 θ - sin θ$ より

\int_{0}^{π /2} 2 θ cos 2 θ sin θ d θ = \int_{0}^{π /2} θ (sin 3 θ - sin θ) d θ

である。部分積分により

\int_{0}^{π /2} θ sin 3 θ d θ = - \frac{1}{9}, \int_{0}^{π /2} θ sin θ d θ = 1

だから $\int_{0}^{π /2} 2 θ cos 2 θ sin θ d θ = - \frac{10}{9}$ である。さらに

\int_{0}^{π /2} sin 2 θ sin θ d θ = \int_{0}^{π /2} 2 sin^{2} θ cos θ d θ = \frac{2}{3}

である。

よって $\int_{0}^{1} S (t) d t = π - \frac{10}{9} - \frac{2}{3} = π - \frac{16}{9}$ である。

東京大学 2003年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 2003年度
理系数学第3問