東京大学 2003年度
理系数学 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理科一類・理科二類・理科三類
- 分野
- 関数、方程式・不等式、微分、積分
- 解法
- 文字消去、範囲評価、微積分の対称性、計算整理
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 15〜20分
問題
a，b，cを実数とし，a=0とする。2次関数f(x)=ax2+bx+cが次の条件(A)，(B)を満たすとする。
(A) f(−1)=−1，f(1)=1
(B) −1≦x≦1を満たすすべてのxに対し，f(x)≦3x2−1
このとき，積分I=∫−11(f′(x))2dxの値のとりうる範囲を求めよ。
出典：東京大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
端点条件から f(x)=x+a(x2−1) まで係数を減らす。条件(B)は q(x)=(3−a)x2−x+a−1 が [−1,1] で常に非負である条件で、端点値は常に q(−1)=3, q(1)=1 となる。したがって軸が区間内に入る下に凸の場合だけ頂点値を調べればよい。理科には f′(1)≦6 がないので a には上限がなく、I=2+8a2/3 の最小値だけが決まる。
解答
端点条件から a−b+c=−1,a+b+c=1 である。よって b=1,c=−a であり、f(x)=ax2+x−a=x+a(x2−1) と書ける。
条件(B)は x+a(x2−1)≦3x2−1(−1≦x≦1) である。すなわち q(x)=(3−a)x2−x+a−1≧0(−1≦x≦1) である。端点では q(−1)=3,q(1)=1 となり、これは常に正である。 a<3 のとき、q(x) は下に凸で、その軸は x=2(3−a)1 である。この軸が区間 [−1,1] に入るのは a≦5/2 のときである。この場合、区間上の最小値は頂点でとるので q(2(3−a)1)=a−1−4(3−a)1 が0以上であればよい。これを整理すると 4(a−1)(3−a)−1≧0 すなわち 4a2−16a+13≦0 である。したがって (a−2)2≦43 となる。a≦5/2 も合わせると 2−23≦a≦25 である。
一方、5/2<a<3 のときは軸が x=1 より右にあるので、最小値は右端でとり q(1)=1>0 である。また a=3 のときは q(x)=−x+2 であり、a>3 のときは区間での最小値が端点で確認できるので、いずれも条件(B)を満たす。
よって条件(B)は a≧2−23 と同値である。
次に f′(x)=1+2ax だから I=∫−11(1+2ax)2dx=∫−11(1+4ax+4a2x2)dx である。奇関数である 4ax の積分は0なので I=2+4a2⋅32=2+38a2 である。上の範囲では a>0 であるから、I の最小値は a=2−23 で生じる。その値は 2+38(2−23)2=344−163 である。
理科の条件には a の上限がないので、a を大きくすれば I もいくらでも大きくなる。したがって求める範囲は I≧344−163 である。
