東京大学 1994年度理系数学第6問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の2点 $P$ ， $Q$ に対し， $P$ と $Q$ を $x$ 軸または $y$ 軸に平行な線分からなる折れ線で結ぶときの経路の長さの最小値を $d (P, Q)$ で表す。

(1) 原点 $O (0, 0)$ と点 $A (1, 1)$ に対し， $d (O, P) = d (P, A)$ を満たす点 $P (x, y)$ の範囲を $x y$ 平面上に図示せよ。

(2) 実数 $a ≧ 0$ に対し，点 $Q (a, a^{2} + 1)$ を考える。次の条件を満足する点 $P (x, y)$ の範囲を $x y$ 平面上に図示せよ。

(＊) 原点 $O (0, 0)$ に対し， $d (O, P) = d (P, Q)$ となるような $a ≧ 0$ が存在する。

出典：東京大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

折れ線距離は絶対値の和で表される。(1)は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = ∣ x - 1∣ + ∣ y - 1∣$ を， $x = 0, 1$ と $y = 0, 1$ で式が変わることに注意して整理する。(2)では，まず $a ≧ 0$ を固定し， $Q = (a, a^{2} + 1)$ に対する等距離集合を求める。 $a^{2} + 1 > a$ なので，固定した $a$ での軌跡は左水平半直線，中央の斜め線分，右水平半直線の3部分になる。最後に $a$ を動かして合併し， $x ≦ 0$ ， $0 ≦ x ≦ 1/2$ ， $x ≧ 1/2$ に分けて下端を求める。

解答

(1)

$P = (x, y)$ とする。条件は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = ∣ x - 1∣ + ∣ y - 1∣$ である。 $ϕ (x) = ∣ x ∣ - ∣ x - 1∣$ ， $ψ (y) = ∣ y ∣ - ∣ y - 1∣$ とおくと，条件は $ϕ (x) + ψ (y) = 0$ である。ここで

ϕ (x) = ⎩ ⎨ ⎧ - 1 2 x - 1 1 (x ≦ 0), (0 ≦ x ≦ 1), (x ≧ 1), ψ (y) = ⎩ ⎨ ⎧ - 1 2 y - 1 1 (y ≦ 0), (0 ≦ y ≦ 1), (y ≧ 1)

である。 $x ≦ 0$ では $ϕ (x) = - 1$ なので $ψ (y) = 1$ ，すなわち $y ≧ 1$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ では $ψ (y) = 1 - 2 x$ であり， $0 ≦ y ≦ 1$ の式から $y = 1 - x$ である。 $x ≧ 1$ では $ϕ (x) = 1$ なので $ψ (y) = - 1$ ，すなわち $y ≦ 0$ である。

よって求める範囲は ${(x, y) ∣ x ≦ 0, y ≧ 1}$ と ${(x, y) ∣ 0 ≦ x ≦ 1, y = 1 - x}$ と ${(x, y) ∣ x ≧ 1, y ≦ 0}$ の和集合である。

(2)

$a ≧ 0$ を固定する。点 $Q = (a, a^{2} + 1)$ に対する条件は $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = ∣ x - a ∣ + ∣ y - (a^{2} + 1) ∣$ である。ここで $b = a^{2} + 1$ とおくと， $b - a = a^{2} - a + 1 > 0$ である。 $ϕ_{a} (x) = ∣ x ∣ - ∣ x - a ∣$ ， $ψ_{b} (y) = ∣ y ∣ - ∣ y - b ∣$ とおく。条件は $ϕ_{a} (x) + ψ_{b} (y) = 0$ である。 $x ≦ 0$ では $ϕ_{a} (x) = - a$ なので $ψ_{b} (y) = a$ である。 $0 ≦ a < b$ だから，これは $0 ≦ y ≦ b$ の範囲で $2 y - b = a$ となり， $y = \frac{a + b}{2} = \frac{a ^{2} + a + 1}{2}$ である。 $0 ≦ x ≦ a$ では $ϕ_{a} (x) = 2 x - a$ なので $ψ_{b} (y) = a - 2 x$ である。したがって $2 y - b = a - 2 x$ より $y = \frac{a + b}{2} - x = \frac{a ^{2} + a + 1}{2} - x$ である。 $x ≧ a$ では $ϕ_{a} (x) = a$ なので $ψ_{b} (y) = - a$ である。よって $2 y - b = - a$ から $y = \frac{b - a}{2} = \frac{a ^{2} - a + 1}{2}$ である。

以上より，固定した $a$ での等距離集合は $y = \frac{a ^{2} + a + 1}{2} (x ≦ 0),$ $y = \frac{a ^{2} + a + 1}{2} - x (0 ≦ x ≦ a),$ $y = \frac{a ^{2} - a + 1}{2} (x ≧ a)$ の3部分からなる。

これを $a ≧ 0$ について合併する。

まず $x ≦ 0$ では $y = \frac{a ^{2} + a + 1}{2}$ であり，右辺は $a ≧ 0$ で最小値 $1/2$ をとり，その後いくらでも大きくなる。したがって $y ≧ \frac{1}{2} (x ≦ 0)$ である。

次に $x ≧ 0$ を考える。中央の斜め部分を通るには $a ≧ x$ が必要であり，そのとき $y = \frac{a ^{2} + a + 1}{2} - x$ である。この右辺は $a ≧ 0$ で増加するので， $a = x$ のとき最小となり $y ≧ \frac{x ^{2} - x + 1}{2}$ を与える。

一方，右水平部分を通るには $0 ≦ a ≦ x$ が必要であり，そのとき $y = \frac{a ^{2} - a + 1}{2} = (a - \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{8}$ である。 $0 ≦ x ≦ 1/2$ では， $0 ≦ a ≦ x$ の範囲でこの値は $a = x$ のとき最小となるので，下端は $\frac{x ^{2} - x + 1}{2}$ である。 $x ≧ 1/2$ では， $a = 1/2$ を選べるので最小値は $\frac{3}{8}$ である。さらに右水平部分で得られる値と中央部分で得られる値がつながるため，この下端以上のすべての点が得られる。

したがって求める範囲は

⎩ ⎨ ⎧ y ≧ \frac{1}{2} y ≧ \frac{x ^{2} - x + 1}{2} y ≧ \frac{3}{8} (x ≦ 0), (0 ≦ x ≦ \frac{1}{2}), (x ≧ \frac{1}{2})

である。図では，左側は水平線 $y = 1/2$ 以上，中央は放物線 $y = (x^{2} - x + 1) /2$ 以上，右側は水平線 $y = 3/8$ 以上を塗る。

東京大学 1994年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1994年度
理系数学第6問