東京大学 1994年度理系数学第4問解答・解説

問題

$0 < c < 1$ とする。 $0 ≦ x < 1$ において連続な関数 $f (x)$ に対して

f_{1} (x) = f (x) + \int_{0}^{c} f (t) d t, f_{2} (x) = f (x) + \int_{0}^{c} f_{1} (t) d t

とおく。以下，関数 $f_{3} (x), f_{4} (x), \dots$ を順次

f_{n} (x) = f (x) + \int_{0}^{c} f_{n - 1} (t) d t (n = 3, 4, \dots)

により定める。また，

g (c) = \int_{0}^{c} f (t) d t

とし， $n = 1, 2, 3, \dots$ に対し

g_{n} (c) = \int_{0}^{c} f_{n} (t) d t

とおく。このとき， $0 < x < 1$ を満たす任意の $x$ に対し

x f (x) = g (x) + x n \to \infty lim g_{n} (x)

が成り立ち，さらに $f (0) = 1$ となるような $f (x)$ を定めよ。

出典：東京大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

まず上端を固定して， $g_{n} (c)$ だけの漸化式を作る。定義より $g_{n} (c) = g (c) + c g_{n - 1} (c)$ となるので， $0 < c < 1$ から $lim_{n \to \infty} g_{n} (c) = g (c) / (1 - c)$ を得る。これを条件式に代入し， $x (1 - x) f (x) = g (x)$ へ変形する。さらに $g^{'} (x) = f (x)$ を使い， $x (1 - x) g^{'} (x) = g (x)$ を解く。割り算で $g (x)$ の符号を仮定しなくてすむよう， $(1 - x) g (x) / x$ が一定であることを直接微分して示す。最後に $f (0) = 1$ から定数を決め，代入確認も行う。

解答

$0 < c < 1$ を固定する。定義から

g_{n} (c) = \int_{0}^{c} f_{n} (t) d t = \int_{0}^{c} {f (t) + \int_{0}^{c} f_{n - 1} (u) d u} d t

である。内側の積分は $t$ によらない定数なので $g_{n} (c) = g (c) + c \int_{0}^{c} f_{n - 1} (u) d u = g (c) + c g_{n - 1} (c)$ となる。

したがって $g_{n} (c) = g (c) (1 + c + \dots + c^{n - 1})$ であり， $0 < c < 1$ より $lim_{n \to \infty} g_{n} (c) = \frac{g ( c )}{1 - c}$ である。

問題の条件に $c = x$ としてこの極限を代入すると， $0 < x < 1$ で $x f (x) = g (x) + x \frac{g ( x )}{1 - x} = \frac{g ( x )}{1 - x}$ である。よって $x (1 - x) f (x) = g (x)$ を得る。

ここで $g (x) = \int_{0}^{x} f (t) d t$ だから $g^{'} (x) = f (x)$ である。したがって $x (1 - x) g^{'} (x) = g (x) (0 < x < 1)$ である。 $0 < x < 1$ で $H (x) = \frac{1 - x}{x} g (x)$ とおく。上の式を用いて微分すると

H^{'} (x) = \frac{1 - x}{x} g^{'} (x) - \frac{1}{x ^{2}} g (x) = \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{g ( x )}{x ( 1 - x )} - \frac{g ( x )}{x ^{2}} = 0

である。よって $H (x)$ は定数であり，ある定数 $C$ を用いて $\frac{1 - x}{x} g (x) = C$ と書ける。すなわち $g (x) = \frac{C x}{1 - x}$ である。

したがって $f (x) = g^{'} (x) = \frac{C}{( 1 - x ) ^{2}}$ である。 $f (0) = 1$ より $C = 1$ だから $f (x) = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} (0 ≦ x < 1)$ である。

最後に確認する。この $f$ に対して $g (x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{( 1 - t ) ^{2}} d t = \frac{x}{1 - x}$ であるから， $lim_{n \to \infty} g_{n} (x) = \frac{g ( x )}{1 - x} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}$ である。すると

g (x) + x n \to \infty lim g_{n} (x) = \frac{x}{1 - x} + \frac{x ^{2}}{( 1 - x ) ^{2}} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}} = x f (x)

となり，確かに条件を満たす。

東京大学 1994年度理系数学 第4問

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