東京大学 1994年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において条件

x^{2} + y^{2} ≦ z^{2}, z^{2} ≦ x, 0 ≦ z ≦ 1

を満たす点 $P (x, y, z)$ の全体からなる立体を考える。この立体の体積を $V$ とし， $0 ≦ k ≦ 1$ に対し， $z$ 軸と直交する平面 $z = k$ による切り口の面積を $S (k)$ とする。

(1) $k = cos θ$ とおくとき $S (k)$ を $θ$ で表せ。ただし $0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ とする。

(2) $V$ の値を求めよ。

出典：東京大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

高さ $z = k$ で切ると，切り口は $x y$ 平面で円 $x^{2} + y^{2} ≦ k^{2}$ と半平面 $x ≧ k^{2}$ の共通部分になる。半径は $k$ ，中心から弦までの距離は $k^{2}$ なので， $k = cos θ$ とおけば扇形の中心角が $2 θ$ になる。(1)は扇形から二等辺三角形を引いて $S (k)$ を出す。(2)は $V = \int_{0}^{1} S (k) d k$ とし， $k = cos θ$ で積分する。途中の部分積分を省くと誤りやすいので， $\int θ cos^{2} θ sin θ d θ$ を丁寧に処理する。

解答

(1)

$z = k$ で切る。 $0 ≦ k ≦ 1$ に対し，条件は $x^{2} + y^{2} ≦ k^{2}, k^{2} ≦ x$ となる。したがって切り口は，半径 $k$ の円板のうち，直線 $x = k^{2}$ の右側の部分である。 $k = cos θ$ とおく。中心から直線 $x = k^{2}$ までの距離は $k^{2}$ であり，半径は $k$ であるから $\frac{k ^{2}}{k} = k = cos θ$ である。したがって，弦を見込む中心角は $2 θ$ である。

求める切り口は，中心角 $2 θ$ の扇形から，2辺が半径 $k$ でその間の角が $2 θ$ の二等辺三角形を除いた部分である。よって

S (k) = \frac{1}{2} k^{2} \cdot 2 θ - \frac{1}{2} k^{2} sin 2 θ = k^{2} θ - k^{2} sin θ cos θ

である。 $k = cos θ$ より $S (k) = cos^{2} θ (θ - sin θ cos θ)$ である。

(2)

体積は切り口の面積を高さ方向に積分して $V = \int_{0}^{1} S (k) d k$ である。 $k = cos θ$ とおくと， $d k = - sin θ d θ$ であり， $k = 0$ のとき $θ = π /2$ ， $k = 1$ のとき $θ = 0$ である。したがって

V = \int_{0}^{π /2} cos^{2} θ (θ - sin θ cos θ) sin θ d θ

である。

第1項を $I = \int_{0}^{π /2} θ cos^{2} θ sin θ d θ$ とおく。 $d (cos^{3} θ) = - 3 cos^{2} θ sin θ d θ$ であるから，部分積分により

I = [- \frac{1}{3} θ cos^{3} θ]_{0}^{π /2} + \frac{1}{3} \int_{0}^{π /2} cos^{3} θ d θ

である。端の項は $0$ であり，

\int_{0}^{π /2} cos^{3} θ d θ = \int_{0}^{π /2} cos θ (1 - sin^{2} θ) d θ = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

だから $I = \frac{2}{9}$ である。

第2項は $J = \int_{0}^{π /2} sin^{2} θ cos^{3} θ d θ$ である。 $u = sin θ$ とおくと $J = \int_{0}^{1} u^{2} (1 - u^{2}) d u = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{2}{15}$ である。

よって $V = I - J = \frac{2}{9} - \frac{2}{15} = \frac{4}{45}$ である。

東京大学 1994年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1994年度
理系数学第3問