東京大学 1994年度理系数学第1問解答・解説

問題

f (x) = x^{4} + x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x + \frac{1}{24}, g (x) = x^{5} + x^{4} + \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{6} x^{2} + \frac{1}{24} x + \frac{1}{120}

とする。このとき，以下のことが成り立つことを示せ。

(1) 任意の実数 $x$ に対し， $f (x) > 0$ である。

(2) 方程式 $g (x) = 0$ はただひとつの実数解 $α$ をもち， $- 1 < α < 0$ となる。

出典：東京大学 1994年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1)は $f (x)$ を平方の和と正の定数に分解して，任意の実数で正であることを示す。(2)は $g^{'} (x)$ を平方の和と正の定数に分解し， $g$ が実数全体で単調増加であることを示す。あとは $g (- 1) < 0 < g (0)$ を直接計算し，中間値と単調性から，解の存在・一意性・範囲 $- 1 < α < 0$ を同時に結論する。

解答

(1)

平方完成を行うと

f (x) = (x^{2} + \frac{x}{2})^{2} + \frac{1}{4} (x + \frac{1}{3})^{2} + \frac{1}{72}

である。実際，右辺を展開すると

x^{4} + x^{3} + \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{4} x^{2} + \frac{1}{6} x + \frac{1}{36} + \frac{1}{72} = x^{4} + x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x + \frac{1}{24}

となり， $f (x)$ と一致する。

右辺の2つの平方は $0$ 以上であり，最後に $1/72$ が加わっている。したがって任意の実数 $x$ に対して $f (x) > 0$ である。

(2)

$g$ を微分すると $g^{'} (x) = 5 x^{4} + 4 x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + \frac{1}{24}$ である。これも平方完成により

g^{'} (x) = 5 (x^{2} + \frac{2}{5} x)^{2} + \frac{7}{10} (x + \frac{5}{21})^{2} + \frac{1}{504}

と書ける。展開して確認すると， $x^{2}$ の係数は $4/5 + 7/10 = 3/2$ ， $x$ の係数は $7/10 \cdot 10/21 = 1/3$ ，定数項は $5/126 + 1/504 = 1/24$ である。

したがって任意の実数 $x$ に対して $g^{'} (x) > 0$ であり， $g (x)$ は実数全体で単調に増加する。

端点の値を調べると $g (- 1) = - 1 + 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{24} + \frac{1}{120} = - \frac{1}{5} < 0$ であり，また $g (0) = \frac{1}{120} > 0$ である。よって連続性により， $- 1 < x < 0$ に $g (x) = 0$ を満たす実数解が少なくとも一つ存在する。

さらに $g (x)$ は単調に増加するので，実数解は二つ以上存在できない。したがって方程式 $g (x) = 0$ はただ一つの実数解 $α$ をもち，その解は $- 1 < α < 0$ を満たす。

東京大学 1994年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1994年度
理系数学第1問