東京大学 1994年度
理系数学 第2問

解答

(1)

公式 $\sin 5\theta =16{\sin }^5\theta -20{\sin }^3\theta +5\sin \theta$ を用いる。$\sin 5\theta =0$かつ$\sin \theta \ne 0$のとき，$\sin \theta$で割って $16{\sin }^4\theta -20{\sin }^2\theta +5=0$ を得る。 $\theta =\pi /5$，$2\pi /5$はいずれも$\sin 5\theta =0$，$\sin \theta \ne 0$を満たす。したがって $a={\sin }^2\frac{\pi }{5},b={\sin }^2\frac{2\pi }{5}$ は，2次方程式 $16X^2-20X+5=0$ の2根である。よって解と係数の関係から $a+b=\frac{20}{16}=\frac{5}{4},ab=\frac{5}{16}$ であり，どちらも有理数である。

(2)

$r=\frac{a+b}{a},s=\frac{a+b}{b}$ とおく。このとき $r+s=(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=\frac{(a+b{)}^2}{ab}$ であり，(1)の結果を代入して $r+s=\frac{(5/4{)}^2}{5/16}=5$ である。また $rs=\frac{(a+b{)}^2}{ab}=5$ でもある。 $U_n=r^n+s^n$とおく。$r,s$は2次方程式 $X^2-5X+5=0$ の2根であるから $r^2=5r-5,s^2=5s-5$ である。両辺にそれぞれ$r^{n-2}$，$s^{n-2}$を掛けて足すと，$n\geqq 3$について $U_n=5U_{n-1}-5U_{n-2}$ が成り立つ。

初項は $U_1=r+s=5,U_2=(r+s{)}^2-2rs=25-10=15$ で，いずれも整数である。漸化式の係数も整数なので，数学的帰納法により，すべての自然数$n$について$U_n$は整数である。

一方，

である。したがって求める数は整数である。

別解。(1)の2次方程式を解くと $a,b=\frac{5\mp \sqrt{5}}{8}$ である。したがって $r,s=\frac{a+b}{a},\frac{a+b}{b}=\frac{5\pm \sqrt{5}}{2}$ となる。よって求める数は

である。この2つは根号の符号だけが違うので，和を作ると根号を奇数個含む項は打ち消し合う。さらに$r+s=5$，$rs=5$であるから，この和は上の解答と同じ漸化式 $U_n=5U_{n-1}-5U_{n-2}$ に従う。初項$U_1=5$，$U_2=15$から，やはりすべて整数である。