東京大学 1994年度
理系数学 第5問

解答

(1)

1，2，5，6のカードを引く確率はそれぞれ$q$，3のカードを引く確率は$p$である。したがって4のカードを引く確率は $r=1-p-4q$ である。 $a+b\leqq 4$となるのは $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(3,1)$ の場合である。よって $P(A)=q^2+q^2+q^2+q^2+pq+pq=4q^2+2pq$ である。

次に$B$を求める。2回の数字が異なるとき，$a<b$と$a>b$は対称に起こる。したがって $P(B)=\frac{1}{2}P(a\ne b)$ である。2回の数字が等しい確率は $4q^2+p^2+r^2$ であるから $P(B)=\frac{1}{2}\{1-4q^2-p^2-(1-p-4q{)}^2\}$ である。

したがって $E=2P(A)+P(B)$ は $E=2(4q^2+2pq)+\frac{1}{2}\{1-4q^2-p^2-(1-p-4q{)}^2\}$ である。展開すると $E=p-p^2+4q-2q^2$ である。

(2)

$1/p$と$1/q$が自然数なので $p=\frac{1}{m},q=\frac{1}{n}$ とおける。ただし$m,n$は自然数である。4のカードの確率が正であることから $1-p-4q>0$ であり，特に$4q<1$である。よって $n\geqq 5$ である。

まず$n=5$，すなわち$q=1/5$の場合を考える。このとき$p<1/5$なので$m\geqq 6$である。$0<p<1/2$では$p-p^2$は増加するから，$m\geqq 6$の中では$m=6$，すなわち$p=1/6$のとき最大になる。このとき $E=\frac{1}{6}-\frac{1}{36}+\frac{4}{5}-\frac{2}{25}=\frac{773}{900}$ である。

次に$n\geqq 6$とする。このとき$q\leqq 1/6$である。 $q<1/8$の場合，$p-p^2\leqq 1/4$であり，また$4q-2q^2$は$0<q<1/8$で増加するので $4q-2q^2<4\cdot \frac{1}{8}-2{\left(\frac{1}{8}\right)}^2=\frac{15}{32}$ である。したがって $E<\frac{1}{4}+\frac{15}{32}=\frac{23}{32}<\frac{773}{900}$ である。 $1/8\leqq q\leqq 1/6$の場合，$p<1-4q\leqq 1/2$である。$0<p<1/2$で$p-p^2$は増加するから $p-p^2<(1-4q)-(1-4q{)}^2=4q-16q^2$ である。よって $E<8q-18q^2$ である。関数$8q-18q^2$は$1/8\leqq q\leqq 1/6$で増加するので $E<8\cdot \frac{1}{6}-18{\left(\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{5}{6}<\frac{773}{900}$ である。

以上より，$n\geqq 6$では$E=773/900$を超えない。したがって$E$を最大にするのは $p=\frac{1}{6},q=\frac{1}{5}$ である。