問題
時刻における座標が
で表される平面上の点の運動を考える。
(1) の速さ，すなわち速度ベクトル
の大きさの最大値と最小値を求めよ。
(2) がの範囲を動く間にが2回以上通過する点が唯一つ存在することを示し，その点を通過する各々の時刻での速度ベクトルを求め図示せよ。
方針
(1)はまず速度ベクトルを微分で求め，速さそのものではなく二乗を の関数として整理する。 上の3次式の最大・最小を微分で調べればよい。(2)は2つの時刻で同じ点を通ると仮定し，， とおいて 座標の等式を因数分解する。 の場合と の場合を分け，余分な候補を除く。最後に唯一の重複点 を通る時刻で速度ベクトルを計算し，向きを図示できる形で列挙する。
解答
(1)
速度ベクトルは
である。 とおくと，， より，速さの二乗は である。これを とおく。 で である。したがって調べる値は である。それぞれ
となる。速さは速さの二乗の平方根であるから，最大値は であり，最小値は である。
(2)
とおくと である。2つの時刻 で同じ点を通るとし， とおく。 座標が等しいことから であり， を得る。
まず の場合を考える。異なる時刻で同じ余弦をもつなら， では である。 座標も等しいためには が必要なので である。異なる時刻を与えるのは のときで，このとき点は である。
次に の場合を考える。すなわち である。 座標の等しさから である。両辺を2乗し， と ， を用いると である。左辺から右辺を引いて整理すると となる。 は であり，異なる2時刻で同じ点を新しく与えない。 または のときは，いずれも である。
以上より， の間に2回以上通過する点はただ一つ である。この点を通る時刻は である。
速度ベクトルは であるから，各時刻で となる。図では点 に，左下向き，上向き，右下向きの3本の速度ベクトルをそれぞれ描けばよい。