問題
1と0を5個ならべた列10110をある人が繰返し書き写すとする。ただしこの列をで表し，これの第1回の写しをで表すとき，第2回目に書き写すときはを書き写す。の写しをとするとき，第3回目にはを書き写す。以下同様に続ける。
この人が0を1に写しまちがえる確率は であり，1を0に写しまちがえる確率は であるが，それ以外の写しまちがいはないものとする。第回目の写しがに一致する確率をとするとき，極限値
を求めよ。
出典：東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
5桁をまとめて扱うのではなく，1つの桁が1である確率を追う。1から0へ誤る確率が ，0から1へ誤る確率が なので，その桁が1である確率は1次の漸化式を満たす。この漸化式の極限を求めると，十分多く写した後に1である確率は ，0である確率は になる。元の列 には1が3個，0が2個あるので，各桁の独立性を使って確率を掛け合わせる。
解答
1つの桁に注目し，第 回の写しでその桁が1である確率を とする。次に書き写すとき，前の桁が0なら確率 で1になり，前の桁が1なら確率 で1のままである。したがって である。整理すると となる。
この漸化式の極限を とすれば であるから である。実際， であり，， より だから， は初期値が0でも1でも に近づく。
したがって十分多く写した後，1つの桁が1である確率は に近づき，0である確率は に近づく。
元の列 には1が3個，0が2個ある。各桁の写し間違いは互いに独立に起こり，桁ごとの変化規則も同じである。よって が と一致する確率の極限は，元が1である3桁が1になる極限確率と，元が0である2桁が0になる極限確率の積である。すなわち
である。