東京大学 1993年度理系数学第2問解答・解説

問題

整数からなる数列 ${a_{n}}$ を漸化式

a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{n + 2} = 3 a_{n + 1} - 7 a_{n} (n = 1, 2, \dots)

によって定める。

(1) $a_{n}$ が偶数となることと， $n$ が3の倍数となることは同値であることを示せ。

(2) $a_{n}$ が10の倍数となるための条件を(1)と同様の形式で求めよ。

出典：東京大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は2で割った余りを追い，隣り合う2項の余りの組が周期3で戻ることを示す。(2)では10の倍数であることを，2の倍数かつ5の倍数であることに分解する。5で割った余りも同じ漸化式から周期を持ち，初期の組 $(1, 3)$ に戻るところまで確認する。最後に $n \equiv 0 (mod 3)$ と $n \equiv 0 (mod 4)$ を同時に満たす条件へまとめる。

解答

(1)

$a_{n}$ を2で割った余りを考える。 $3 \equiv 1$ ， $- 7 \equiv 1 (mod 2)$ であるから，漸化式より $a_{n + 2} \equiv a_{n + 1} + a_{n} (mod 2)$ である。初期値は $a_{1} \equiv 1, a_{2} \equiv 1 (mod 2)$ であるから $a_{3} \equiv 0, a_{4} \equiv 1, a_{5} \equiv 1 (mod 2)$ となる。ここで隣り合う2項の余りが $(a_{4}, a_{5}) \equiv (1, 1)$ となり，初期の組に戻る。したがって余りは $1, 1, 0, 1, 1, 0, \dots$ と周期3で繰り返す。

よって $a_{n} が偶数 ⟺ n \equiv 0 (mod 3)$ である。

(2)

10の倍数であるためには，2の倍数かつ5の倍数であることが必要十分である。(1)より，2の倍数である条件は $n \equiv 0 (mod 3)$ である。

次に5で割った余りを調べる。漸化式は $a_{n + 2} \equiv 3 a_{n + 1} - 2 a_{n} (mod 5)$ である。初めから計算すると

a_{1} \equiv 1, a_{2} \equiv 3, a_{3} \equiv 3 \cdot 3 - 2 \cdot 1 \equiv 2 (mod 5),

$a_{4} \equiv 3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 \equiv 0 (mod 5)$ である。さらに

a_{5} \equiv 3 \cdot 0 - 2 \cdot 2 \equiv 1, a_{6} \equiv 3 \cdot 1 - 2 \cdot 0 \equiv 3 (mod 5)

となり，隣り合う2項の余りが初期の組 $(1, 3)$ に戻る。したがって5で割った余りは $1, 3, 2, 0, 1, 3, 2, 0, \dots$ と周期4で繰り返し， $5 ∣ a_{n} ⟺ n \equiv 0 (mod 4)$ である。

以上より $a_{n}$ が10の倍数であるための必要十分条件は $n \equiv 0 (mod 3), n \equiv 0 (mod 4)$ を同時に満たすことである。 $3$ と $4$ は互いに素なので，これは $n \equiv 0 (mod 12)$ と同値である。したがって $a_{n} が 10 の倍数 ⟺ n が 12 の倍数$ である。

東京大学 1993年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1993年度
理系数学第2問