東京大学 1993年度理系数学第1問解答・解説

問題

すべての面が合同な四面体 $A B C D$ がある。頂点 $A$ ， $B$ ， $C$ はそれぞれ $x$ ， $y$ ， $z$ 軸上の正の部分にあり，辺の長さは $A B = 2 l - 1$ ， $B C = 2 l$ ， $C A = 2 l + 1$ $(l > 2)$ である。四面体 $A B C D$ の体積を $V (l)$ とするとき，次の極限値を求めよ。

l \to 2 lim \frac{V ( l )}{l - 2}

出典：東京大学 1993年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

4つの面がすべて合同な四面体では，向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい。この型の四面体は，中心を原点に置いた対称な4点 $(\pm x, \pm y, \pm z)$ で表すと辺の長さと体積が計算しやすい。3種類の辺の長さから $x^{2}, y^{2}, z^{2}$ を求め，体積 $V (l) = 8 x y z /3$ を出す。最後は $y^{2}$ だけが $l - 2$ を含むことに注目して， $V (l) / l - 2$ の極限を取る。

解答

すべての面が合同である四面体では，向かい合う辺の長さがそれぞれ等しい。そこで，合同な四面体として $(x, y, z), (x, - y, - z), (- x, y, - z), (- x, - y, z)$ を頂点にもつものを考える。この四面体の各面は，3辺の長さが $2 y^{2} + z^{2}, 2 x^{2} + z^{2}, 2 x^{2} + y^{2}$ で同じになるので，問題の四面体と同じ型である。

3つの辺の長さを $2 y^{2} + z^{2} = 2 l - 1,$ $2 x^{2} + y^{2} = 2 l,$ $2 x^{2} + z^{2} = 2 l + 1$ と対応させる。両辺を2乗して $y^{2} + z^{2} = \frac{( 2 l - 1 ) ^{2}}{4},$ $x^{2} + y^{2} = l^{2},$ $x^{2} + z^{2} = \frac{( 2 l + 1 ) ^{2}}{4}$ を得る。これらを足し引きすると $x^{2} = \frac{( x ^{2} + y ^{2} ) + ( x ^{2} + z ^{2} ) - ( y ^{2} + z ^{2} )}{2} = \frac{l ( l + 2 )}{2},$ $y^{2} = \frac{( x ^{2} + y ^{2} ) + ( y ^{2} + z ^{2} ) - ( x ^{2} + z ^{2} )}{2} = \frac{l ( l - 2 )}{2},$ $z^{2} = \frac{( x ^{2} + z ^{2} ) + ( y ^{2} + z ^{2} ) - ( x ^{2} + y ^{2} )}{2} = \frac{2 l ^{2} + 1}{4}$ である。 $l > 2$ なので $x, y, z$ は正に取れる。

この対称配置の体積を求める。頂点 $(x, y, z)$ から他の3頂点へ向かうベクトルを $(0, - 2 y, - 2 z), (- 2 x, 0, - 2 z), (- 2 x, - 2 y, 0)$ とすると，これらで作る平行六面体の体積は $16 x y z$ である。したがって四面体の体積は $V (l) = \frac{16 x y z}{6} = \frac{8}{3} x y z$ である。

上で求めた値を代入すると

V (l) = \frac{8}{3} \frac{l ( l + 2 )}{2} \frac{l ( l - 2 )}{2} \frac{2 l ^{2} + 1}{4}

であるから

\frac{V ( l )}{l - 2} = \frac{8}{3} \frac{l ( l + 2 )}{2} \frac{l}{2} \frac{2 l ^{2} + 1}{4}

となる。よって $l \to 2$ とすれば $lim_{l \to 2} \frac{V ( l )}{l - 2} = \frac{8}{3} \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{3}{2} = 8$ である。

東京大学 1993年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

東京大学 1993年度
理系数学第1問