問題
を2以上の自然数とし， の形の次関数について積分
を考える。を最小にするようなが唯一組存在することを示し，そのようなとの最小値を求めよ。
出典：東京大学 1993年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
積分区間が で対称なので，偶関数と奇関数の積の積分が0になることを利用する。 が偶数なら は偶関数で，調整すべき相手は定数項 になる。 が奇数なら は奇関数で，調整すべき相手は一次項 になる。それぞれ を の平方完成に直し，平方の係数が正であることから最小値とその一意性を同時に示す。
解答
まず が偶数の場合を考える。このとき は偶関数， は奇関数である。したがって積の項の積分は0になり， である。各項を計算すると
である。よって となる。平方完成して
である。したがって最小にする組はただ一つ であり，最小値は である。
次に が奇数の場合を考える。このとき は奇関数， は偶関数であるから，交差する項は消えて である。計算すると である。これを平方完成すると
となる。したがって最小にする組はただ一つ であり，最小値は である。
別解。 は の2次式なので，最小点では と を少し変えたときの一次の変化が0になる。すなわち を満たす。 が偶数なら，前の式から ，後の式から となり，， を得る。 が奇数なら，前の式から ，後の式から となり，， を得る。平方完成で正の平方和になることから，これらがただ一つの最小点である。