東京大学 1991年度理系数学第6問解答・解説

問題

$f (x)$ は $x > 0$ で定義された連続な関数で， $0 < x_{1} < x_{2}$ ならば，つねに $f (x_{1}) > f (x_{2}) > 0$ であるものとし，

S (x) = \int_{x}^{2 x} f (t) d t

とおく。このとき， $S (1) = 1$ であり，さらに任意の $a > 0$ に対して，原点と点 $(a, f (a))$ ，原点と点 $(2 a, f (2 a))$ を結ぶ2直線と曲線 $y = f (x)$ とで囲まれる部分の面積は $3 S (a)$ に等しいものとする。

(1) $S (x)$ ， $f (x) - 2 f (2 x)$ をそれぞれ $x$ の関数として表せ。

(2) $x > 0$ に対して，

a (x) = n \to \infty lim 2^{n} f (2^{n} x)

とおく。積分

\int_{x}^{2 x} a (t) d t

の値を求めよ。

(3) 関数 $f (x)$ を決定せよ。

出典：東京大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

まず面積条件を式に直す。2本の直線は $y = f (a) x / a$ 、 $y = f (2 a) x / (2 a)$ であり、囲まれる部分は $0 ≦ x ≦ a$ では2直線の差、 $a ≦ x ≦ 2 a$ では曲線と後者の直線の差として積分できる。これにより $f (a) - 2 f (2 a) = 4 S (a) / a$ が出る。一方 $S^{'} (x) = 2 f (2 x) - f (x)$ なので、 $S$ の微分方程式を解く。(2)は $h_{n} (t) = 2^{n} f (2^{n} t)$ の単調性と積分値で極限を押さえる。(3)は $g (x) = x f (x)$ と置いて $g (x) - g (2 x)$ を繰り返し、(2)の極限で残り項を消す。

解答

(1)

点 $(a, f (a))$ と原点を結ぶ直線は $y = \frac{f ( a )}{a} x$ であり、点 $(2 a, f (2 a))$ と原点を結ぶ直線は $y = \frac{f ( 2 a )}{2 a} x$ である。 $f$ は正で単調減少だから、 $0 ≦ x ≦ a$ では曲線 $y = f (x)$ は2直線より上にあり、囲まれる部分の境界は2本の直線である。また $a ≦ x ≦ 2 a$ では、曲線 $y = f (x)$ が直線 $y = f (2 a) x / (2 a)$ より上にある。よって面積 $A (a)$ は

A (a) = \int_{0}^{a} (\frac{f ( a )}{a} x - \frac{f ( 2 a )}{2 a} x) d x + \int_{a}^{2 a} (f (x) - \frac{f ( 2 a )}{2 a} x) d x

である。

第1項は $\frac{a f ( a )}{2} - \frac{a f ( 2 a )}{4}$ であり、第2項は $S (a) - \frac{f ( 2 a )}{2 a} \cdot \frac{( 2 a ) ^{2} - a ^{2}}{2} = S (a) - \frac{3 a f ( 2 a )}{4}$ である。したがって $A (a) = S (a) + \frac{a f ( a )}{2} - a f (2 a)$ である。問題の条件より $A (a) = 3 S (a)$ だから $S (a) + \frac{a f ( a )}{2} - a f (2 a) = 3 S (a)$ であり $f (a) - 2 f (2 a) = \frac{4 S ( a )}{a}$ を得る。

一方、 $S (x) = \int_{x}^{2 x} f (t) d t$ であるから $S^{'} (x) = 2 f (2 x) - f (x)$ である。先ほどの式より $2 f (2 x) - f (x) = - \frac{4 S ( x )}{x}$ なので $S^{'} (x) = - \frac{4 S ( x )}{x}$ である。よって $\frac{S ^{'} ( x )}{S ( x )} = - \frac{4}{x}$ となり、 $S (x) = C x^{- 4}$ である。 $S (1) = 1$ より $C = 1$ だから $S (x) = \frac{1}{x ^{4}}$ である。また $f (x) - 2 f (2 x) = \frac{4 S ( x )}{x}$ より $f (x) - 2 f (2 x) = \frac{4}{x ^{5}}$ である。

(2)

$h_{n} (t) = 2^{n} f (2^{n} t)$ とおく。 $f$ は単調減少なので、 $h_{n} (t)$ も $t$ の単調減少関数である。すると

\int_{x}^{2 x} h_{n} (t) d t = \int_{x}^{2 x} 2^{n} f (2^{n} t) d t = \int_{2^{n} x}^{2^{n + 1} x} f (u) d u = S (2^{n} x)

である。(1)より $S (2^{n} x) = \frac{1}{( 2 ^{n} x ) ^{4}} = \frac{1}{2 ^{4 n} x ^{4}}$ である。

また、 $h_{n}$ は単調減少で正だから $0 ≦ x h_{n} (2 x) ≦ \int_{x}^{2 x} h_{n} (t) d t = \frac{1}{2 ^{4 n} x ^{4}}$ である。したがって $h_{n} (2 x) \to 0$ である。 $x > 0$ は任意なので、任意の正の数 $y$ について $2^{n} f (2^{n} y) \to 0$ となる。すなわち $a (y) = 0$ である。

よって、求める積分は $\int_{x}^{2 x} a (t) d t = 0$ である。

(3)

$g (x) = x f (x)$ とおく。(1)の $f (x) - 2 f (2 x) = \frac{4}{x ^{5}}$ に $x$ を掛けると $x f (x) - 2 x f (2 x) = \frac{4}{x ^{4}}$ である。左辺は $g (x) - g (2 x)$ だから $g (x) - g (2 x) = 4 x^{- 4}$ である。

これを繰り返すと、任意の正整数 $N$ について $g (x) = g (2^{N} x) + 4 x^{- 4} (1 + 2^{- 4} + 2^{- 8} + \dots + 2^{- 4 (N - 1)})$ である。(2)より $g (2^{N} x) = 2^{N} x f (2^{N} x) = x {2^{N} f (2^{N} x)} \to x a (x) = 0$ である。したがって $N \to \infty$ とすると

g (x) = 4 x^{- 4} \cdot \frac{1}{1 - 2 ^{- 4}} = 4 x^{- 4} \cdot \frac{16}{15} = \frac{64}{15} x^{- 4}

である。よって $x f (x) = \frac{64}{15} x^{- 4}$ となり $f (x) = \frac{64}{15 x ^{5}}$ を得る。

実際、この関数は正で単調減少であり、 $\int_{x}^{2 x} \frac{64}{15 t ^{5}} d t = \frac{1}{x ^{4}}$ を満たすので、(1)で得た条件とも一致する。

東京大学 1991年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京大学 1991年度
理系数学第6問