問題
平面上に正四面体が置いてある。平面と接している面の3辺のひとつを任意に選び，これを軸として正四面体をたおす。 回の操作の後に，最初に平面と接していた面が再び平面と接する確率を求めよ。
出典：東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
接している面そのものを状態と見る。正四面体には4つの面があり、現在接している面の3辺のどれを軸に倒しても、次に接するのは現在の面以外の3面のいずれかである。したがって「最初の面 にいる確率」だけでなく、 以外にいるとき次に へ戻る確率が であることを使って1次漸化式を立てる。初期値 から解く。
解答
最初に平面と接していた面を とする。 回の操作の後に面 が平面と接している確率を とおく。
正四面体には4つの面がある。現在ある面が平面と接しているとき、その面の3辺のうち1つを軸に倒すと、次に接する面は現在の面に隣り合う3面のうち1つである。したがって、現在 が接しているなら、次の操作後には は接していない。一方、現在 以外の面が接しているなら、次に が接する確率は である。
よって である。この漸化式を定数解 からのずれで書くと となる。
初めは面 が接しているので である。したがって
である。
よって求める確率は である。