問題
定数 に対して，3次方程式
の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を とする。ただし，実数解がただひとつのときには，その2乗を とする。
(1) がすべての実数を動くとき， の最小値を求めよ。
(2) の関数 のグラフの概形をえがけ。
方針
方程式を と見て、曲線 と水平線 の交点を調べる。 では3実数解を とし、解と係数の関係から最大根と最小根の積を中間根 で と表す。 では実数解は1つだけなので、その解 をパラメータにして を描く。端 では値と片側から近づく枝がずれることに注意する。
解答
(1)
とおく。微分すると である。したがって は で増加、 で減少、 で増加する。また である。
よって では3つの異なる実数解をもち、 では重解を含む実数解をもつ。3つの実数解を、重解を含めて と書く。解と係数の関係より である。最大の解と最小の解の積は である。 なので となり を得る。
このとき中間の解 は を動く。したがって である。特に最小値は のとき、すなわち のときに となる。
一方、 では実数解はただ1つである。その解を とすると、 では 、 では である。よってこの場合 となり、全体の最小値にはならない。以上より、求める最小値は である。
(2)
まず の部分を描く。中間の解を とおくと である。 が から まで動くと、 は から まで単調に減少する。したがってこの部分は を通る下側の曲線である。
次に の部分では、ただ1つの実数解 を用いて と表される。 のとき であり、 では 、 である。
同様に の部分では を用いて で表される。 のとき であり、 では 、 である。
また、方程式は を に替えると の符号が反対になるので、 のグラフは 軸対称である。
したがってグラフは、 で を通る下側の曲線を持ち、、 では の上側の2枝を持つ。 での関数値は であるが、外側の枝は に近づくので、そこで不連続になる。