東京大学 1991年度理系数学第4問解答・解説

問題

(1) 自然数 $n = 1, 2, 3, \dots$ に対して，ある多項式 $p_{n} (x), q_{n} (x)$ が存在して，

sin n θ = p_{n} (tan θ) cos^{n} θ, cos n θ = q_{n} (tan θ) cos^{n} θ

と書けることを示せ。

(2) このとき， $n > 1$ ならば次の等式が成立することを証明せよ。

p_{n}^{'} (x) = n q_{n - 1} (x), q_{n}^{'} (x) = - n p_{n - 1} (x)

出典：東京大学 1991年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

主解では、虚数単位 $i$ を用いて $q_{n} (x) + i p_{n} (x) = (1 + i x)^{n}$ と定める。二項定理により実部・虚部はいずれも $x$ の多項式であり、 $x = tan θ$ とすれば $cos θ + i sin θ = (1 + i tan θ) cos θ$ から(1)が出る。(2)はこの多項式恒等式を $x$ で微分し、実部と虚部を比較する。別解として、加法定理から $p_{n + 1} = p_{n} + x q_{n}$ 、 $q_{n + 1} = q_{n} - x p_{n}$ を作り、導関数の関係も帰納法で示せる。

解答

(1)

虚数単位を $i$ とする。 $x$ の式 $(1 + i x)^{n}$ を展開すると、二項定理により $x$ の多項式になる。その実部を $q_{n} (x)$ 、虚部を $p_{n} (x)$ と定める。すなわち $q_{n} (x) + i p_{n} (x) = (1 + i x)^{n}$ である。 $x = tan θ$ とおくと $cos θ + i sin θ = (1 + i tan θ) cos θ$ である。両辺を $n$ 乗して $cos n θ + i sin n θ = (1 + i tan θ)^{n} cos^{n} θ$ を得る。右辺は定義より ${q_{n} (tan θ) + i p_{n} (tan θ)} cos^{n} θ$ である。実部と虚部を比較して

cos n θ = q_{n} (tan θ) cos^{n} θ, sin n θ = p_{n} (tan θ) cos^{n} θ

である。したがって、求める多項式 $p_{n} (x), q_{n} (x)$ は存在する。

(2)

(1)で定めた恒等式 $q_{n} (x) + i p_{n} (x) = (1 + i x)^{n}$ を $x$ で微分する。すると $q_{n}^{'} (x) + i p_{n}^{'} (x) = ni (1 + i x)^{n - 1}$ である。さらに $(1 + i x)^{n - 1} = q_{n - 1} (x) + i p_{n - 1} (x)$ だから

ni (1 + i x)^{n - 1} = ni {q_{n - 1} (x) + i p_{n - 1} (x)} = - n p_{n - 1} (x) + in q_{n - 1} (x)

である。実部と虚部を比較して $q_{n}^{'} (x) = - n p_{n - 1} (x), p_{n}^{'} (x) = n q_{n - 1} (x)$ を得る。すなわち $p_{n}^{'} (x) = n q_{n - 1} (x), q_{n}^{'} (x) = - n p_{n - 1} (x)$ である。

別解。複素数を使わず、加法定理だけでも構成できる。 $n = 1$ では $p_{1} (x) = x, q_{1} (x) = 1$ とすれば $sin θ = x cos θ, cos θ = 1 \cdot cos θ$ である。

ある $n$ で

sin n θ = p_{n} (x) cos^{n} θ, cos n θ = q_{n} (x) cos^{n} θ, x = tan θ

と書けているとする。加法定理より $sin (n + 1) θ = sin n θ cos θ + cos n θ sin θ$ であるから $sin (n + 1) θ = {p_{n} (x) + x q_{n} (x)} cos^{n + 1} θ$ である。また $cos (n + 1) θ = cos n θ cos θ - sin n θ sin θ$ より $cos (n + 1) θ = {q_{n} (x) - x p_{n} (x)} cos^{n + 1} θ$ である。したがって $p_{n + 1} (x) = p_{n} (x) + x q_{n} (x), q_{n + 1} (x) = q_{n} (x) - x p_{n} (x)$ とおけばよいので、(1)は帰納法でも示せる。

さらにこの漸化式から(2)も帰納法で出せる。まず $p_{2} (x) = 2 x, q_{2} (x) = 1 - x^{2}$ であるから $p_{2}^{'} (x) = 2 = 2 q_{1} (x), q_{2}^{'} (x) = - 2 x = - 2 p_{1} (x)$ が成り立つ。ある $n ≧ 2$ で $p_{n}^{'} (x) = n q_{n - 1} (x), q_{n}^{'} (x) = - n p_{n - 1} (x)$ が成り立つとする。すると $p_{n + 1}^{'} (x) = p_{n}^{'} (x) + q_{n} (x) + x q_{n}^{'} (x) = n q_{n - 1} (x) + q_{n} (x) - n x p_{n - 1} (x)$ である。ここで $q_{n} (x) = q_{n - 1} (x) - x p_{n - 1} (x)$ だから $p_{n + 1}^{'} (x) = (n + 1) q_{n} (x)$ となる。同様に $q_{n + 1}^{'} (x) = q_{n}^{'} (x) - p_{n} (x) - x p_{n}^{'} (x) = - n p_{n - 1} (x) - p_{n} (x) - n x q_{n - 1} (x)$ であり、 $p_{n} (x) = p_{n - 1} (x) + x q_{n - 1} (x)$ を使うと $q_{n + 1}^{'} (x) = - (n + 1) p_{n} (x)$ である。よって(2)も示された。

東京大学 1991年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東京大学 1991年度
理系数学第4問