問題
を正の実数とする。 空間において，，， をみたす点 からなる板 を考える。点光源 が平面 上の楕円
の上を一周するとき，光が板 にさえぎられて 平面上にできる影の通過する部分の図をえがき，その面積を求めよ。
出典：東京大学 1991年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
点光源を 、板上の点を と置き、直線が 平面に当たる点を求める。座標を 、 に縮尺変更すると、影は「中心が半径 の円を動く、半幅 の正方形」の通過領域になる。これは正方形を半径 だけ外側へふくらませた図形なので、面積は正方形の面積、4辺に沿う長方形部分、4隅の四分円部分に分けて求める。最後に縮尺の面積倍率 を掛ける。
解答
点光源を とし、板 上の点を とおく。この2点を結ぶ直線上の点は、実数 を用いて と表される。 座標は なので、 平面上では である。したがって影の点を とすると である。
固定した に対して、これは中心 をもち、横の半幅 、縦の半幅 の長方形である。
ここで とおく。この縮尺変更のもとで、長方形は半幅 の正方形になり、その中心は である。したがって中心は円 上を動く。
よって 平面で影の通過する部分は、正方形 を半径 だけ外側にふくらませた図形である。図では、1辺 の正方形の4辺の外側に幅 の帯を付け、4隅を半径 の四分円で丸めた形になる。
その面積は であるから である。元の 平面では、 から への面積倍率が なので、求める面積は である。