問題
空間において，点を，点を，点をとする．点がの辺上を一周するとき，を中心とし半径1の球が通過する点全体のつくる立体をとする．
(1) を平面で切った切り口の面積を求めよ．
(2) の体積を求めよ．
出典：東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第6問
方針
高さ の断面を三角形の周から距離 以内の帯として求め、内側に残る相似三角形を差し引いて積分する。
解答
{三角形の辺の長さを求める。
である。したがって周の長さを とすると である。また三角形の面積を とすると，底辺 ，高さ より である。半周長は なので，内接円の半径 は である。特に である。
(1)
平面 での切り口は，平面内で三角形 の周から距離1以内にある点全体である。
この面積を，三角形の外側の部分と内側の部分に分ける。外側の部分は，3辺に沿う幅1の帯と，3頂点の外側にできる扇形を合わせたものである。外角の和は なので，扇形の面積の和は半径1の円1個分，すなわち である。したがって外側の面積は である。
内側の部分は，三角形の内側で周から距離1以内の帯である。 なので，周から距離1より遠い内側の部分は，もとの三角形と相似な三角形として残る。その内接円半径は であるから，面積比は である。よって内側の帯の面積は
である。ここで なので，内側の帯の面積は である。
したがって切り口の面積は である。 を代入して である。
(2)
高さ で切る。球の半径は1なので， のときだけ断面があり，その平面内では三角形の周から距離 以内の点全体になる。ここで であるから，(1) と同じ相似の考え方が使える。
半径 の外側部分の面積は である。内側の帯の面積は
である。したがって高さ での断面積 は すなわち である。
よって体積 は である。ここで
だから
である。}