東京大学 1985年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a ≧ 1$ とする． $x y$ 平面において，不等式 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ ， $1 ≦ y ≦ a sin x$ によって定められる領域の面積を $S_{1}$ ，不等式 $0 ≦ x ≦ \frac{π}{2}$ ， $0 ≦ y ≦ a sin x$ ， $0 ≦ y ≦ 1$ によって定められる領域の面積を $S_{2}$ とする． $S_{2} - S_{1}$ を最大にするような $a$ の値と， $S_{2} - S_{1}$ の最大値を求めよ．

出典：東京大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

曲線 $y = a sin x$ と直線 $y = 1$ の交点を $θ$ と置き， $sin θ = 1/ a$ で表す。 $S_{1}$ は曲線が1以上の部分， $S_{2}$ は $a sin x$ と1の小さい方の下の面積である。まず面積を $a, θ$ で表し， $θ$ の微分も含めて $S_{2} - S_{1}$ を最大化する。端点 $a = 1$ も比較する。

解答

$a ≧ 1$ である。まず $sin θ = \frac{1}{a}, 0 < θ ≦ \frac{π}{2}$ となる $θ$ をとる。 $a = 1$ のときは $θ = π /2$ である。また $cos θ = 1 - \frac{1}{a ^{2}} = \frac{a ^{2} - 1}{a}$ である。 $S_{1}$ は $1 ≦ y ≦ a sin x$ の部分なので， $a sin x ≧ 1$ となる $θ ≦ x ≦ π /2$ で積分して

S_{1} = \int_{θ}^{π /2} (a sin x - 1) d x = a cos θ - (\frac{π}{2} - θ) = a^{2} - 1 - \frac{π}{2} + θ

である。

一方， $S_{2}$ は $0 ≦ y ≦ a sin x, 0 ≦ y ≦ 1$ を同時に満たす部分である。したがって上端は $a sin x$ と1の小さい方であり，

S_{2} = \int_{0}^{θ} a sin x d x + \int_{θ}^{π /2} 1 d x = a (1 - cos θ) + \frac{π}{2} - θ = a - a^{2} - 1 + \frac{π}{2} - θ

である。

よって $H (a) = S_{2} - S_{1} = a - 2 a^{2} - 1 + π - 2 θ$ である。 $a > 1$ で微分する。 $sin θ = 1/ a$ より $cos θ θ^{'} = - \frac{1}{a ^{2}}$ だから $θ^{'} = - \frac{1}{a a ^{2} - 1}$ である。したがって

H^{'} (a) = 1 - \frac{2 a}{a ^{2} - 1} + \frac{2}{a a ^{2} - 1} = 1 - \frac{2 a ^{2} - 1}{a}

である。 $H^{'} (a) = 0$ とすると $a^{2} - 1 = \frac{a}{2}$ であり， $a^{2} - 1 = \frac{a ^{2}}{4}$ より $a = \frac{2}{3}$ を得る。 $1 < a < 2/ 3$ では $H^{'} (a) > 0$ ， $a > 2/ 3$ では $H^{'} (a) < 0$ なので，ここで最大となる。

このとき $sin θ = \frac{3}{2}$ より $θ = \frac{π}{3}$ である。また $a^{2} - 1 = \frac{1}{3}$ なので

H (\frac{2}{3}) = \frac{2}{3} - 2 \cdot \frac{1}{3} + π - 2 \cdot \frac{π}{3} = \frac{π}{3}

である。

したがって $a = \frac{2}{3}, (S_{2} - S_{1})_{m a x} = \frac{π}{3}$ である。端点 $a = 1$ では $S_{2} - S_{1} = 1$ であり，これは $π /3$ より小さい。

東京大学 1985年度理系数学 第1問

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理系数学第1問