問題
平面において，を原点，を定点とする．また，，は円周の上を動く2点であって，線分から正の向きにまわって線分にいたる角と，線分から正の向きにまわって線分にいたる角が等しいという関係が成り立っているものとする．
点を通り軸に垂直な直線と軸との交点を，点を通り軸に垂直な直線と軸との交点をとする．実数を与えたとき，線分の長さがと等しくなるような点，の位置は何通りあるか．
出典：東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
と置くと，条件から は中心角 の点になる。縦線の足 の距離は2点の 座標の差なので， である。 と置いて 上の方程式 の解を数え，最後に各 に対応する の個数を反映する。
解答
は正の 軸である。そこで とおく。このとき条件より， から同じ角だけ正の向きに回ったところが であるから， の偏角は である。したがって である。
点 はそれぞれ から 軸へ下ろした垂線の足なので， である。よって である。
ここで とおくと なので である。したがって，関数 について の解を数えればよい。 は上に開く放物線で， である。また零点は である。
まず を考える。 のとき， 内の解は左側に1つある。ただし では も解になり， では解は である。
次に を考える。 のとき， 内に2つの解がある。 のときは の1つだけで， では解はない。
最後に， に戻して個数を数える。 の1つの には2つの が対応する。一方， には の1通り， には の1通りだけが対応する。
以上より，求める位置の数は
である。