東京大学 1985年度理系数学第5問解答・解説

問題

0または正の整数の値をとる変数 $X$ ， $Y$ がある． $X$ が整数 $n$ $(n ≧ 0)$ の値をとる確率と， $Y$ が整数 $n$ $(n ≧ 0)$ の値をとる確率は，ともに $p_{n}$ であるとする．(ここで， $n = 0 \sum \infty p_{n} = 1$ である．)
いま，任意の整数 $m$ ， $n$ $(m ≧ 0, n ≧ 0)$ に対して， $X = m$ なる事象と $Y = n$ なる事象は独立であり，また， $X + Y = n$ となる確率は $(n + 1) p_{n + 1}$ に等しいという．このとき， $p_{n}$ $(n = 0, 1, 2, \dots\dots)$ と $n = 0 \sum \infty n p_{n}$ の値を求めよ．

出典：東京大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

独立性から $P (X + Y = n)$ を畳み込み $\sum_{k = 0}^{n} p_{k} p_{n - k}$ として表す。条件よりこれが $(n + 1) p_{n + 1}$ に等しいので， $n = 0$ から始めて帰納法で $p_{n} = p_{0}^{n + 1}$ を示す。最後に確率の総和が1であることから $p_{0}$ を決め，平均値は等比級数の和で求める。

解答

条件より，任意の $n ≧ 0$ について $P (X + Y = n) = (n + 1) p_{n + 1}$ である。一方， $X$ と $Y$ は独立であり，どちらも同じ分布 $p_{n}$ をもつので $P (X + Y = n) = \sum_{k = 0}^{n} P (X = k) P (Y = n - k) = \sum_{k = 0}^{n} p_{k} p_{n - k}$ である。したがって $\sum_{k = 0}^{n} p_{k} p_{n - k} = (n + 1) p_{n + 1}$ が成り立つ。

まず $n = 0$ とすると $p_{0}^{2} = p_{1}$ である。ここから $p_{n} = p_{0}^{n + 1}$ を数学的帰納法で示す。 $0 ≦ k ≦ n$ で $p_{k} = p_{0}^{k + 1}$ が成り立っていると仮定する。このとき

(n + 1) p_{n + 1} = k = 0 \sum n p_{k} p_{n - k} = k = 0 \sum n p_{0}^{k + 1} p_{0}^{n - k + 1} = (n + 1) p_{0}^{n + 2}

である。よって $p_{n + 1} = p_{0}^{n + 2}$ である。したがってすべての $n ≧ 0$ で $p_{n} = p_{0}^{n + 1}$ が成り立つ。

確率の総和が1なので $1 = \sum_{n = 0}^{\infty} p_{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} p_{0}^{n + 1}$ である。 $p_{0} = 0$ なら総和は0になり不適であり，確率の総和が有限であるため $0 < p_{0} < 1$ である。したがって $\sum_{n = 0}^{\infty} p_{0}^{n + 1} = \frac{p _{0}}{1 - p _{0}} = 1$ より $p_{0} = \frac{1}{2}$ である。ゆえに $p_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1}} (n = 0, 1, 2, \dots)$ である。

最後に平均値を求める。

n = 0 \sum \infty n p_{n} = n = 1 \sum \infty \frac{n}{2 ^{n + 1}} = \frac{1}{2} n = 1 \sum \infty n (\frac{1}{2})^{n}

である。 $∣ r ∣ < 1$ に対して $\sum_{n = 1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{( 1 - r ) ^{2}}$ を用いると， $r = 1/2$ より $\sum_{n = 1}^{\infty} n (\frac{1}{2})^{n} = 2$ である。したがって $\sum_{n = 0}^{\infty} n p_{n} = 1$ である。

東京大学 1985年度理系数学 第5問

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方針

解答

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理系数学第5問