東京大学 1985年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を実数とし， $A = (a a - b 0 b)$ とおく．

(1) 行列 $A^{n}$ $(n = 1, 2, \dots\dots)$ の表す一次変換による点 $P (\frac{1}{2}, 0)$ ， $Q (\frac{1}{2}, 1)$ ， $R (1, 1)$ の像をそれぞれ $P_{n}$ ， $Q_{n}$ ， $R_{n}$ とし， $f_{n} = 3 \overline{P_{n} Q_{n}}^{2} + 2 \overline{Q_{n} R_{n}}^{2} + 2 \overline{R_{n} P_{n}}^{2}$ とおく．(ここで， $\overline{C D}$ は線分 $C D$ の長さを表す．) $f_{n}$ を $a$ ， $b$ を用いて表せ．

(2) $a = 1.1$ ， $b = \frac{1}{1.1}$ であるとして， $f_{n}$ の値を最小にするような自然数 $n$ を求めよ．

出典：東京大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

帰納法で $A^{n}$ を求め、3辺の差ベクトルから $f_{n} = 2 a^{2 n} + 4 b^{2 n}$ とし、差 $f_{n + 1} - f_{n}$ の符号で整数 $n$ を決める。

解答

{(1)まず $A^{n}$ を求める。主張は

A^{n} = (a^{n} a^{n} - b^{n} 0 b^{n})

である。 $n = 1$ では明らかに成り立つ。ある $n$ で成り立つとすると

(a^{n} a^{n} - b^{n} 0 b^{n}) (a a - b 0 b) = (a^{n + 1} a^{n + 1} - b^{n + 1} 0 b^{n + 1})

であるから，数学的帰納法によりすべての自然数 $n$ で成り立つ。

一次変換では，2点間の差ベクトルも同じ行列で移される。もとの3点について

P Q = (01), QR = (1/2 0), R P = (- 1/2 - 1)

である。

したがって

P_{n} Q_{n} = A^{n} P Q = (0 b^{n})

より $\overline{P_{n} Q_{n}}^{2} = b^{2 n}$ である。また

Q_{n} R_{n} = A^{n} QR = (a^{n} /2 (a^{n} - b^{n}) /2)

なので $\overline{Q_{n} R_{n}}^{2} = \frac{a ^{2 n} + ( a ^{n} - b ^{n} ) ^{2}}{4}$ である。さらに

R_{n} P_{n} = A^{n} R P = (- a^{n} /2 - (a^{n} + b^{n}) /2)

だから $\overline{R_{n} P_{n}}^{2} = \frac{a ^{2 n} + ( a ^{n} + b ^{n} ) ^{2}}{4}$ である。

よって

f_{n} = 3 b^{2 n} + 2 \cdot \frac{a ^{2 n} + ( a ^{n} - b ^{n} ) ^{2}}{4} + 2 \cdot \frac{a ^{2 n} + ( a ^{n} + b ^{n} ) ^{2}}{4} = 3 b^{2 n} + a^{2 n} + \frac{( a ^{n} - b ^{n} ) ^{2} + ( a ^{n} + b ^{n} ) ^{2}}{2} = 3 b^{2 n} + a^{2 n} + a^{2 n} + b^{2 n} = 2 a^{2 n} + 4 b^{2 n}

である。

(2)

$a = 1.1, b = \frac{1}{1.1}$ であるから $r = 1. 1^{2} = 1.21$ とおくと $f_{n} = 2 r^{n} + 4 r^{- n}$ である。

差を調べる。

f_{n + 1} - f_{n} = 2 r^{n} (r - 1) + 4 r^{- n} (r^{- 1} - 1) = (r - 1) (2 r^{n} - 4 r^{- n - 1})

である。 $r > 1$ なので，符号は $2 r^{n} - 4 r^{- n - 1}$ の符号で決まる。すなわち $f_{n + 1} - f_{n} < 0 ⟺ r^{2 n + 1} < 2$ である。

ここで $r^{3} = 1.2 1^{3} = 1.771561 < 2$ なので $f_{2} - f_{1} < 0$ である。一方 $r^{5} = 1.2 1^{5} > 2$ なので $f_{3} - f_{2} > 0$ である。さらに $r^{2 n + 1}$ は $n$ とともに増加するから， $n ≧ 2$ では $f_{n + 1} - f_{n} > 0$ である。

したがって $f_{n}$ は $n = 2$ まで減少し，その後増加する。よって $n = 2$ のとき最小である。}

東京大学 1985年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(2)

東京大学 1985年度
理系数学第4問