問題
を正の数とする．空間において，点をとし，軸を含み点を通る平面に関してと対称な点を，軸を含み点を通る平面に関してと対称な点をとする．また，原点をとする．4点，，，を頂点とする4面体の体積を求めよ．
出典：東京大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
文科第4問と同じ立体である。2つの対称平面を ， と表し，それぞれ平面内の直線対称として を求める。体積だけが問われているが，行列式に入れるために の座標を明示する。最後は ， を用いて行列式を簡単にする。 反射点の座標を求める段階で分母 をそろえ，最後まで によって体積が正であることを確認する。
解答
軸を含み点 を通る平面は である。この平面に関する対称移動では 座標は変わらない。したがって， 平面で点 を直線 に関して対称移動すればよい。
直線 の方向ベクトルは である。点 のこの直線への射影は である。対称点は射影の2倍から元の点を引けばよいので となる。よって である。
同様に， 軸を含み点 を通る平面は であるから である。
4面体 の体積を とすると である。ここで とおくと
である。行列式は列の差をとっても変わらないので である。
さらに
であるから
である。よって である。