東京大学 1982年度理系数学第6問解答・解説

問題

サイコロが1の目を上面にして置いてある．向かいあった一組の面の中心を通る直線のまわりに90 $^{\circ}$ 回転する操作をくりかえすことにより，サイコロの置きかたを変えていく．ただし，各回ごとに，回転軸および回転する向きの選びかたは，それぞれ同様に確からしいとする．
第 $n$ 回目の操作のあとに1の目が上面にある確率を $p_{n}$ ，側面のどこかにある確率を $q_{n}$ ，底面にある確率を $r_{n}$ とする．

(1) $p_{1}$ ， $q_{1}$ ， $r_{1}$ を求めよ．

(2) $p_{n}$ ， $q_{n}$ ， $r_{n}$ を $p_{n - 1}$ ， $q_{n - 1}$ ， $r_{n - 1}$ で表わせ．

(3) $p = n \to \infty lim p_{n}$ ， $q = n \to \infty lim q_{n}$ ， $r = n \to \infty lim r_{n}$ を求めよ．

出典：東京大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系第6問

方針

1の目が上面、側面、底面のどこにあるかだけを状態として見る。各回の操作は、3本の軸と2つの向きで合計6通りあり、どれも同じ確率で起こる。上面・側面・底面それぞれから次にどこへ移るかを数え、3項の漸化式を作る。極限は、漸化式で $p_{n}, q_{n}, r_{n}$ を $p, q, r$ に置き換え、 $p + q + r = 1$ と合わせて解く。

解答

(1)

初めは1の目が上面にある。1回の操作では、回転軸が3通り、回転の向きが2通りなので、全部で6通りが同様に確からしい。

上面と底面の中心を通る軸のまわりに回す2通りでは、1の目は上面のままである。残り4通りでは、1の目は側面に移る。したがって $p_{1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, q_{1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}, r_{1} = 0.$ (2)

1の目が上面にあるとき、次に上面に残るのは2通り、側面に移るのは4通りである。したがって $上面から上面 : \frac{1}{3}, 上面から側面 : \frac{2}{3} .$ 1の目が底面にあるときも同様に、 $底面から底面 : \frac{1}{3}, 底面から側面 : \frac{2}{3} .$ 1の目が側面にあるときは、その面と反対側の面を通る軸のまわりに回す2通り、および上下面を通る軸のまわりに回す2通りでは、1の目は側面にあるままである。残る2通りのうち、一方で上面、一方で底面に移る。したがって

側面から上面 : \frac{1}{6}, 側面から側面 : \frac{2}{3}, 側面から底面 : \frac{1}{6} .

以上より $p_{n} = \frac{1}{3} p_{n - 1} + \frac{1}{6} q_{n - 1},$ $q_{n} = \frac{2}{3} p_{n - 1} + \frac{2}{3} q_{n - 1} + \frac{2}{3} r_{n - 1},$ $r_{n} = \frac{1}{6} q_{n - 1} + \frac{1}{3} r_{n - 1} .$ (3)

まず極限の存在を示す。(2)の第2式と $p_{n - 1} + q_{n - 1} + r_{n - 1} = 1$ から

q_{n} = \frac{2}{3} (p_{n - 1} + q_{n - 1} + r_{n - 1}) = \frac{2}{3} (n ≧ 1)

である。したがって $p_{n} + r_{n} = 1/3$ である。また第1式と第3式の差を取ると

p_{n} - r_{n} = \frac{1}{3} (p_{n - 1} - r_{n - 1}) .

初期状態では $p_{0} = 1, r_{0} = 0$ だから、 $p_{n} - r_{n} = 3^{- n}$ となる。よって

p_{n} = \frac{1}{6} + \frac{1}{2 \cdot 3 ^{n}}, q_{n} = \frac{2}{3}, r_{n} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2 \cdot 3 ^{n}} (n ≧ 1) .

これで各数列の極限が存在することも確認できた。したがって

p = \frac{1}{6}, q = \frac{2}{3}, r = \frac{1}{6} .

別解の視点

極限値の連立方程式だけでは極限の存在は示せない。和 $p_{n} + q_{n} + r_{n} = 1$ と差 $p_{n} - r_{n}$ を追うと一般項まで短く求まり、極限操作を正当化できる。

東京大学 1982年度理系数学 第6問

問題

方針

解答

(1)

別解の視点

東京大学 1982年度
理系数学第6問