東京大学 1982年度
理系数学 第1問

解答

原点以外の点 $P$ の位置ベクトルを $\mathbf{p}$ とする。$P$ が $f$ によって $P$ 自身に移されるという条件は $A\mathbf{p}=\mathbf{p}$ である。したがって $(A-I)\mathbf{p}=0$ であり、$\mathbf{p}\ne 0$ だから $A-I$ は零でない解をもつ。よって $\det (A-I)=0$ である。

このとき転置した方程式 $(A^T-I)\mathbf{n}=0$ にも零でない解 $\mathbf{n}$ が存在する。これを

と書くと $A^T\mathbf{n}=\mathbf{n}$ である。これは行ベクトルで書けば $(\alpha ,\beta )A=(\alpha ,\beta )$ という意味である。

そこで直線 $l:\alpha x+\beta y=1$ を考える。$(\alpha ,\beta )\ne (0,0)$ なので、これは確かに直線である。また右辺が1であるから、原点 $(0,0)$ はこの直線上にない。

いま、点 $(x,y)$ が $l$ 上にあるとする。つまり $\alpha x+\beta y=1$ である。この点が $f$ によって $(X,Y)$ に移されるとすると、行ベクトルの関係 $(\alpha ,\beta )A=(\alpha ,\beta )$ より $\alpha X+\beta Y=\alpha x+\beta y.$ したがって $\alpha X+\beta Y=1.$ これは $(X,Y)$ も直線 $l$ 上にあることを表している。

よって、原点を通らない直線 $l$ であって、そのどの点も $f$ によって $l$ 上の点に移されるものが存在する。

別解の視点

点が保たれる方向そのものを使って直線を作るのではなく、その方向に対応する一次式 $\alpha x+\beta y$ が保たれるような係数を探すのが本問の発想である。転置した方程式を使うと、その係数が自然に得られる。