東京大学 1982年度
理系数学 第2問

解答

半径1の球を、中心を同じくする一辺2の立方体に内接させる。この立方体の互いに隣り合わない4頂点を選ぶと、正四面体ができる。例えば $(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,1,-1),(-1,-1,1)$ の4点である。

この正四面体の一辺は、立方体の一つの面の対角線に等しいので $2\sqrt{2}$ である。また、各辺は立方体の中心を中心とする半径1の球に接している。実際、例えば $(1,1,1)$ と $(1,-1,-1)$ を結ぶ辺は $x=1,y=z$ 上にあり、原点からこの直線までの最短距離は1である。他の辺も対称性により同じである。

したがって、与えられた正四面体 $T$ の一辺の長さは $2\sqrt{2}$ である。

次に体積を求める。正四面体の一辺を $s=2\sqrt{2}$ とする。正四面体の頂点から反対側の面までの高さは $s\sqrt{\frac{2}{3}}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ である。中心はこの高さを頂点側から $3:1$ に分けるので、中心から各面までの距離は $\frac{1}{4}\cdot \frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$ 球の半径は1であるから、球のうち正四面体の外側にある部分は、各面の外側に出る4つの合同な球帽である。各球帽の高さは $h=1-\frac{1}{\sqrt{3}}.$ 半径1の球の高さ $h$ の球帽の体積は ${\int }_{1-h}^1\pi (1-z^2)dz=\frac{\pi h^2(3-h)}{3}$ である。したがって求める体積は $4\cdot \frac{\pi h^2(3-h)}{3}$ である。ここに $h=1-\frac{1}{\sqrt{3}}$ を代入すると

となる。整理して $\frac{72-32\sqrt{3}}{27}\pi$ である。

別解の視点

正四面体を座標で直接置いてもよい。上の4頂点を用いると、辺の長さ、球との接し方、中心から面までの距離がすべて対称性で確認できるため、余計な空間把握を減らせる。