問題
平面において，点は原点を中心とする半径1の円周の第1象限にある部分を動き，点は軸上を動く．ただし，線分の長さは1であり，線分は両端，以外の点で円周と交わるものとする．
(1) の取りうる値の範囲を求めよ．
(2) の長さをで表せ．
(3) 線分の中点をとするとき，線分の長さの範囲を求めよ．
% 図は省略
方針
点 を と置く。条件 と が 軸上にあることから が決まる。線分 上の点を、 から へ向かう割合 で表し、円との交点条件から 以外の交点 を求める。内部交点条件 で の範囲を出し、最後に を の2次式として範囲を調べる。
解答
(1)
とおく。点 は 軸上にあるので と書ける。条件 より これを整理すると である。 では線分 が円周と両端以外で交わらないので、 である。したがって 線分 上の点を と表す。ここで が 、 が に対応する。円周上にある条件は である。代入すると であり、 となる。この方程式の一つの解は で、もう一つの解は である。
線分 が両端以外の点 で円周と交わるには、このもう一つの解が を満たせばよい。したがって である。これより は第1象限にあるので であり、 である。
(2)
から までの長さは1であり、 は上のパラメータ に対応する。したがって (3) の中点 は である。また だから
よって
とおくと、(1)より であり、整理して この2次式は である。 は範囲内にあるから、最小値は である。
一方、区間 での上側の値は、 のとき に近づくが、 は範囲に含まれないので到達しない。したがって 長さに直して である。
別解の視点
を座標で直接求める代わりに、 を先に として出しておくと、 の座標も と一行で表せる。パラメータを最後まで使うと計算の見通しがよい。