東京大学 1982年度
理系数学 第4問

解答

点 $P$ の座標を $P=(x,\sin x)$ とする。弧長を $s$ とすると $\frac{ds}{dx}=\sqrt{1+{\cos }^{2}x}$ である。点 $P$ は左から右へ進み、速さは一定 $V$ なので $\frac{ds}{dt}=V$ である。したがって $\frac{dx}{dt}=\frac{ds/dt}{ds/dx}=\frac{V}{\sqrt{1+{\cos }^{2}x}}.$ 曲線の単位接線ベクトルは $\mathbf{e}=\frac{(1,\cos x)}{\sqrt{1+{\cos }^{2}x}}$ である。よって速度ベクトルは $\mathbf{v}=V\mathbf{e}$ である。

速さ $V$ は定数なので、加速度ベクトルは $\mathbf{\alpha }=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=V\frac{d\mathbf{e}}{dt}$ である。まず $x$ で微分する。計算すると $\left|\frac{d\mathbf{e}}{dx}\right|=\frac{|\sin x|}{1+{\cos }^{2}x}.$ したがって

よって $|\mathbf{\alpha }|=V^2\frac{|\sin x|}{(1+{\cos }^{2}x{)}^{3/2}}.$ ここで $u=|\sin x|$ とおくと $0\leqq u\leqq 1,1+{\cos }^{2}x=2-u^2.$ したがって最大化すべき部分は $\frac{u}{(2-u^2{)}^{3/2}}$ である。これを $u$ で微分すると $\frac{2(1+u^2)}{(2-u^2{)}^{5/2}}>0$ なので、$0\leqq u\leqq 1$ で単調に増加する。よって最大は $u=1$ のときである。

したがって加速度ベクトルの大きさの最大値は $V^2$ である。

別解の視点

速さ一定の運動では、速度の大きさは変わらず、向きだけが変わる。したがって単位接線ベクトルの変化を調べればよい。成分で $\mathbf{e}$ を微分して確認すれば、公式に頼らず高校範囲の計算で最大値まで到達できる。