東京大学 1982年度理系数学第5問解答・解説

問題

$x y z$ 空間において，不等式 $0 ≦ z ≦ 1 + x + y - 3 (x - y) y$ ， $0 ≦ y ≦ 1$ ， $y ≦ x ≦ y + 1$ のすべてを満足する $x$ ， $y$ ， $z$ を座標にもつ点全体がつくる立体の体積を求めよ．

出典：東京大学 1982年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

$u = x - y$ と置くと、条件 $y ≦ x ≦ y + 1$ が $0 ≦ u ≦ 1$ になり、 $0 ≦ y ≦ 1$ と合わせて長方形領域になる。高さ $1 + x + y - 3 (x - y) y$ を $u, y$ で表し、 $d x = d u$ としてその高さを長方形上で積分する。

解答

条件 $y ≦ x ≦ y + 1$ を簡単にするため $u = x - y$ とおく。このとき $0 ≦ u ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1$ である。また $x = y + u$ なので、上面の高さは $1 + x + y - 3 (x - y) y = 1 + (y + u) + y - 3 u y$ すなわち $1 + u + 2 y - 3 u y$ である。

この高さは、 $0 ≦ u ≦ 1$ 、 $0 ≦ y ≦ 1$ において非負である。実際、 $u$ について一次式であり、端点では $u = 0 : 1 + 2 y ≧ 0,$ $u = 1 : 2 - y ≧ 0$ である。

したがって体積 $V$ は $V = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (1 + u + 2 y - 3 u y) d u d y$ である。内側を計算すると $\int_{0}^{1} (1 + u + 2 y - 3 u y) d u = 1 + \frac{1}{2} + 2 y - \frac{3}{2} y = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} y .$ よって $V = \int_{0}^{1} (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} y) d y = \frac{3}{2} + \frac{1}{4} = \frac{7}{4} .$ 別解の視点

元の $x, y$ のまま積分してもよいが、範囲が $y ≦ x ≦ y + 1$ と斜めにずれている。 $u = x - y$ と置くことで積分範囲が長方形になり、高さも一次式のままなので計算がかなり短くなる。

東京大学 1982年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

東京大学 1982年度
理系数学第5問