東北大学 2020年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

(1) 関数 $f (x) = tan x$ $(- \frac{π}{2} < x < \frac{π}{2})$ の逆関数 $f^{- 1} (x)$ の導関数を求めよ。

(2) 正の整数 $n$ に対して

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}

とおく。このとき， $I_{n + 1}$ を $I_{n}$ を用いて表せ。

(3) 定積分

\int_{0}^{1} \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{3}}

の値を求めよ。

出典：東北大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

(1)は $arctan x$ の導関数から直ちに積分表示を得る。(2)は $x / (1 + x^{2})^{n}$ を微分して、 $I_{n}$ と $I_{n + 1}$ を結ぶ式を作る。(3)は漸化式を $n = 1, 2$ で順に使う。

解答

(1)

$arctan x$ の導関数は $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ である。したがって $I_{1} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = [arctan x]_{0}^{1} = \frac{π}{4}$ である。

(2)

$n ≧ 1$ とする。関数 $\frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}$ を微分すると $(\frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}})^{'} = \frac{1 + ( 1 - 2 n ) x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{n + 1}}$ である。これを $0$ から $1$ まで積分すると、左辺は $[\frac{x}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}}]_{0}^{1} = \frac{1}{2 ^{n}}$ である。

一方、右辺の積分は $\int_{0}^{1} \frac{1 + ( 1 - 2 n ) x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{n + 1}} d x$ である。ここで $\frac{x ^{2}}{( 1 + x ^{2} ) ^{n + 1}} = \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n}} - \frac{1}{( 1 + x ^{2} ) ^{n + 1}}$ を用いると、右辺は $I_{n + 1} + (1 - 2 n) (I_{n} - I_{n + 1}) = 2 n I_{n + 1} - (2 n - 1) I_{n}$ となる。したがって $\frac{1}{2 ^{n}} = 2 n I_{n + 1} - (2 n - 1) I_{n}$ であり、 $I_{n + 1} = \frac{2 n - 1}{2 n} I_{n} + \frac{1}{n 2 ^{n + 1}}$ を得る。

(3)

(1)より $I_{1} = \frac{π}{4}$ である。漸化式に $n = 1$ を代入して $I_{2} = \frac{1}{2} I_{1} + \frac{1}{4} = \frac{π}{8} + \frac{1}{4}$ となる。さらに $n = 2$ を代入すると

I_{3} = \frac{3}{4} I_{2} + \frac{1}{16} = \frac{3}{4} (\frac{π}{8} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{16} = \frac{3 π}{32} + \frac{1}{4}

である。

別解。

$I_{2}$ や $I_{3}$ だけなら、 $x = tan θ$ とおいて三角関数の積分に変換しても求められる。ただし本問は一般の $n$ に対する漸化式を要求しているため、微分して $I_{n}$ と $I_{n + 1}$ を直接結ぶ方法が最も自然である。

東北大学 2020年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

別解。

東北大学 2020年度
後期・理系数学後期第6問