東北大学 2020年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$c = \frac{20 - 526}{6}$ として，数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ を

a_{k} = \int_{c}^{k} (12 x - 40) d x

で定め， $n = 1, 2, 3, \dots$ に対し，

S_{n} = k = 1 \sum n a_{k}

とおく。

(1) $S_{n}$ を $n$ を用いて表せ。

(2) $S_{n}$ の最小値を求めよ。

出典：東北大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

まず $c$ が満たす二次方程式から $6 c^{2} - 40 c$ の値を確定する。 $a_{k}$ は原始関数を使って明示式にし、 $S_{n}$ は和の公式で $n$ の三次式にする。最小値は差分 $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ の符号で判定する。

解答

与えられた $c = \frac{20 - 526}{6}$ は方程式 $6 c^{2} - 40 c = 21$ を満たす。実際、 $6 x^{2} - 40 x - 21 = 0$ の解は $x = \frac{20 \pm 526}{6}$ である。

(1)

$a_{k} = \int_{c}^{k} (12 x - 40) d x$ であり、原始関数は $6 x^{2} - 40 x$ である。したがって $a_{k} = (6 k^{2} - 40 k) - (6 c^{2} - 40 c) = 6 k^{2} - 40 k - 21$ となる。

(2)

$S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = \sum_{k = 1}^{n} (6 k^{2} - 40 k - 21)$ である。和の公式を用いると

S_{n} = 6 \cdot \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - 40 \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} - 21 n = n (n + 1) (2 n + 1) - 20 n (n + 1) - 21 n = n (2 n^{2} - 17 n - 40) .

よって $S_{n} = n (2 n^{2} - 17 n - 40)$ である。

(3)

$S_{n}$ の増減は差分 $S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1}$ の符号で分かる。ここで $a_{n + 1} = 6 (n + 1)^{2} - 40 (n + 1) - 21$ である。実際に符号が変わる付近を調べると $a_{7} = 6 \cdot 49 - 40 \cdot 7 - 21 = - 7 < 0,$ $a_{8} = 6 \cdot 64 - 40 \cdot 8 - 21 = 43 > 0$ である。二次式 $a_{k} = 6 k^{2} - 40 k - 21$ は上に凸であり、正の側ではこの間で負から正へ変わる。したがって $S_{n}$ は $n = 7$ まで減少し、その後増加する。

よって最小値は $S_{7} = 7 (2 \cdot 49 - 17 \cdot 7 - 40) = 7 (98 - 119 - 40) = - 427$ である。したがって $最小値 - 427 (n = 7)$ となる。

東北大学 2020年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2020年度
後期・理系数学後期第3問