問題
複素数平面上の原点を通らない異なる2直線，に関して，原点と対称な点をそれぞれ，とする。
(1) 直線上の点は常に，を満たすことを示せ。
(2) が実数でないことが，とが交点をもつための必要十分条件であることを示せ。また，とが交点をもつとき，交点を，を用いて表せ。
出典：東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第5問
方針
反射点は、直線がとを結ぶ線分の垂直二等分線であることを意味する。したがって上の点はを満たす。この式を展開して直線の複素数表示を得て、2直線の交点はとの連立一次方程式として解く。
解答
(1)
点は、原点を直線に関して対称移動した点である。したがっては、線分の垂直二等分線である。ゆえに、点が上にあることは と同値である。
両辺を2乗して を得る。右辺を展開して整理すると だから である。これが直線の方程式である。
(2)
同様に、直線の方程式は である。したがって交点は、とを未知数とする連立一次方程式
の解である。
係数行列の行列式は である。これが0でない、すなわちが実数でないとき、2直線は1点で交わる。Cramerの公式より
である。したがって交点を表す複素数は
である。
もしなら、2本の直線の法線方向が平行である。問題文では異なる直線なので、この場合は平行で交点をもたない。したがって交点をもつための条件は である。