問題
を整数とする。
(1) が3の倍数でないならば，が6の倍数であることを示せ。
(2) が奇数ならば，が8の倍数であることを示せ。
(3) が24の倍数でないならば，が偶数であることを示せ。
出典：東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
(1)は連続する整数の偶奇で示す。(2)はを奇数と仮定し、が連続する偶数であることから8の倍数性を得る。(3)は対偶を用い、が奇数なら8の倍数性と3の倍数性が同時に成り立つことを示す。
解答
(1)
とは連続する2つの整数である。連続する2整数の一方は必ず偶数なので、 は2の倍数である。
(2)
が奇数であるとする。このときとはいずれも偶数である。さらにとは2だけ離れた偶数なので、4で割った余りは一方が0、他方が2である。したがって一方は4の倍数、もう一方は2の倍数である。
よって はの倍数である。
(3)
対偶を示す。すなわち、が奇数なら は24の倍数であることを示せばよい。
が奇数なら、(2)より は8の倍数である。また、は連続する3つの整数なので、そのうち少なくとも1つは3の倍数である。したがって積 は8の倍数であり、同時に3の倍数でもある。8と3は互いに素だから、この積は24の倍数である。
よって対偶が示されたので、 が24の倍数でなければは偶数である。