東北大学 2020年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

数直線上に異なる2点A，Bがある。点MはAからスタートするものとして，以下の規則に従って試行を行う。

● MがAにいるとき，さいころをふって出た目の数が偶数ならAにとどまり，そうでなければBに移る。

● MがBにいるとき，さいころをふって出た目の数が1または2であるならBにとどまり，そうでなければAに移る。

$n$ は1以上の整数とし， $n$ 回目の試行の後でMがAにいる確率を $p_{n}$ とし， $n$ 回目の試行の後でMがBにいる確率を $q_{n}$ とする。

(1) $p_{n + 1}$ を $p_{n}$ ， $q_{n}$ を用いて表せ。また， $q_{n + 1}$ を $p_{n}$ ， $q_{n}$ を用いて表せ。

(2) $p_{n}$ ， $q_{n}$ を求めよ。

出典：東北大学 2020年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

状態を「Aにいる」「Bにいる」の2つに分け、1回の試行での遷移確率を表にする。 $p_{n} + q_{n} = 1$ を使って $p_{n}$ だけの一次漸化式に直し、定常値からのずれを等比数列として解く。

解答

(1)

$n$ 回目の試行後にAにいる確率を $p_{n}$ 、Bにいる確率を $q_{n}$ とする。また、試行前はAにいるとして $p_{0} = 1$ 、 $q_{0} = 0$ とおく。

Aにいるときは、さいころの目が偶数ならAにとどまり、奇数ならBへ移る。したがって $A \to A : \frac{1}{2}, A \to B : \frac{1}{2}$ である。Bにいるときは、目が1または2ならBにとどまり、それ以外ならAへ移るので $B \to B : \frac{1}{3}, B \to A : \frac{2}{3}$ である。

よって $p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{2}{3} q_{n}, q_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{1}{3} q_{n}$ が成り立つ。 $q_{n} = 1 - p_{n}$ を代入すると $p_{n + 1} = \frac{1}{2} p_{n} + \frac{2}{3} (1 - p_{n}) = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} p_{n}$ である。

(2)

この一次漸化式の定常値 $L$ は $L = \frac{2}{3} - \frac{1}{6} L$ を満たすので $L = \frac{4}{7}$ である。したがって $p_{n + 1} - \frac{4}{7} = - \frac{1}{6} (p_{n} - \frac{4}{7})$ となる。 $p_{0} = 1$ より

p_{n} - \frac{4}{7} = (- \frac{1}{6})^{n} (1 - \frac{4}{7}) = \frac{3}{7} (- \frac{1}{6})^{n}

である。よって $p_{n} = \frac{4}{7} + \frac{3}{7} (- \frac{1}{6})^{n}$ となる。また $q_{n} = 1 - p_{n}$ より $q_{n} = \frac{3}{7} - \frac{3}{7} (- \frac{1}{6})^{n}$ である。

東北大学 2020年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2020年度
後期・理系数学後期第4問