問題
関数を考える。直線は曲線と異なる2点で接し，2次関数が定める放物線はおよび原点を通るとする。
(1) 関数，を求めよ。
(2) 曲線と放物線で囲まれる図形の面積を求めよ。
出典：東北大学 2020年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第1問
方針
共通接線をとし、が2つの接点で重解をもつことを使う。4次式の最高係数と係数からの形を比較すれば接点と接線が決まる。面積は、3点を通る放物線を求め、を積分する。
解答
(1)
共通接線を とする。接点の座標を（）とすると、はでそれぞれ重解をもつ。したがって と書ける。ここで であり、右辺を展開すると である。
係数を比較する。の係数から である。したがっての係数は右辺で0となるので、左辺のの係数から を得る。またより、の係数はであるから である。定数項はなので となる。よって共通接線は である。接点はに対応し、 である。
(2)
放物線は原点、、を通る。とおけるので、 を解いて である。したがって となる。
との差は である。交点はであり、ではである。よって囲まれる部分の面積は
である。
別解。
接線条件をかつ接線の切片が一致する条件で立ててもよい。であり、2つの異なる接点をもつ共通接線を探すと、対称性からが現れ、結局、接線に到達する。重解を使う方法は係数比較だけで完結するため、計算が安定する。