東北大学 2018年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

$x y$ 平面内の図形

S : ⎩ ⎨ ⎧ x + y^{2} ≦ 2 x + y ≧ 0 x - y ≦ 2

を考える。図形 $S$ を直線 $y = - x$ のまわりに1回転して得られる立体の体積を $V$ とする。

(1) $S$ を $x y$ 平面に図示せよ。

(2) $V$ を求めよ。

出典：東北大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

回転軸 $y = - x$ に合わせて、軸からの距離を表す $u = (x + y) / 2$ 、軸方向を表す $v = (x - y) / 2$ を導入する。条件 $x + y ≧ 0$ は $u ≧ 0$ 、 $x - y ≦ 2$ は $v ≦ 2$ になる。放物線側の条件を $u, v$ で解くと、各 $v$ に対する $u$ の上限が得られる。回転後の断面は半径 $u_{m a x} (v)$ の円なので、円板法で $π u_{m a x}^{2}$ を積分する。

解答

(1)

条件を $x$ について見ると $x ≦ 2 - y^{2}, x ≧ - y, x ≦ y + 2$ である。直線 $x = - y$ と直線 $x = y + 2$ の交点は $(- 1, 1)$ であり、直線 $x = - y$ と放物線 $x = 2 - y^{2}$ の交点は $y^{2} - y - 2 = 0$ より $(- 2, 2), (1, - 1)$ である。さらに直線 $x = y + 2$ と放物線 $x = 2 - y^{2}$ の交点は $y + 2 = 2 - y^{2}$ より $y = 0, - 1$ であり、関係する点は $(2, 0), (1, - 1)$ である。

したがって、 $- 1 ≦ y ≦ 0$ では $- y ≦ x ≦ y + 2$ であり、 $0 ≦ y ≦ 2$ では $- y ≦ x ≦ 2 - y^{2}$ である。この領域を図示すれば、直線 $x = - y$ 、直線 $x = y + 2$ 、放物線 $x = 2 - y^{2}$ で囲まれる部分である。

(2)

回転軸 $y = - x$ に合わせて $u = \frac{x + y}{2}, v = \frac{x - y}{2}$ とおく。この変換では $x = \frac{u + v}{2}, y = \frac{u - v}{2}$ である。回転軸は $u = 0$ であり、条件 $x + y ≧ 0$ は $u ≧ 0$ である。また $x - y ≦ 2$ は $v ≦ 2$ である。

残る条件 $x + y^{2} ≦ 2$ を $u, v$ で表すと $\frac{u + v}{2} + (\frac{u - v}{2})^{2} ≦ 2$ である。境界を $u$ について解くと $u = v - \frac{2}{2} + \frac{1}{2} 18 - 82 v$ が上側の解である。さらに $u = 0$ が領域に含まれる $v$ の範囲は $- 22 ≦ v ≦ 2$ である。したがって領域は

- 22 ≦ v ≦ 2, 0 ≦ u ≦ v - \frac{2}{2} + \frac{1}{2} 18 - 82 v

で表される。

この領域を $u = 0$ のまわりに回転すると、 $v$ を固定した断面は半径 $U (v) = v - \frac{2}{2} + \frac{1}{2} 18 - 82 v$ の円である。よって体積は $V = π \int_{- 22}^{2} U (v)^{2} d v$ である。展開して積分すると

V = π \int_{- 22}^{2} (v - \frac{2}{2} + \frac{1}{2} 18 - 82 v)^{2} d v = \frac{58 2 π}{15}

である。

東北大学 2018年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2018年度
理系数学前期第6問