問題
平面における2つの放物線，を考える。
(1) とが異なる2点で交わり，その2交点の座標の差が1となるように実数，が動くとき，の頂点の軌跡を図示せよ。
(2) 実数，が(1)の条件を満たしながら動くとき，との2交点を結ぶ直線が通過する範囲を求め，図示せよ。
方針
(1)は文系第1問と同じく、交点の 座標を2次方程式の2解として扱い、解の差が1である条件から頂点の軌跡を出す。(2)では2交点を結ぶ直線の式を を用いて表すと、放物線 の接線族になる。ある点 を通る直線がこの接線族の中に存在する条件を、 についての2次方程式が実数解をもつ条件に直し、通過範囲を求める。
解答
(1)
2つの放物線を等置すると である。すなわち交点の 座標は の2解である。2解を とすると である。2交点の 座標の差が1であるから である。したがって である。
よって頂点 の軌跡は である。これは下に開く放物線全体であり、任意の実数 に対して条件を満たす が定まる。
(2)
2交点の 座標を とする。(1)の条件のもとで である。2交点は 、 なので、それらを結ぶ直線の傾きは である。また切片は だから、直線の式は である。
点 がこの直線族のどれかを通る条件を考える。ある実数 について が成り立てばよい。これは という についての2次方程式が実数解をもつことと同値である。判別式は であり、これが0以上であればよい。よって である。
したがって、2交点を結ぶ直線が通過する範囲は である。図示すれば、放物線 上およびその上側の領域である。境界は直線族が接線となる点の集合である。
別解。通過範囲は接線族の包絡線として見てもよい。直線族を とおく。境界では、近い2本の直線が交わる極限として も満たす。よって を に代入して を得る。直線族はこの放物線の接線全体であり、実際に通過できるのはその上側である。