東北大学 2018年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

三角形の面積を $\Delta$、半周長を $s$ とする。よく知られた面積公式より $\Delta =rs$ であり、また外接円半径を用いると $\Delta =\frac{abc}{4R}$ である。正弦定理より $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$ なので $\Delta =2R^2\sin A\sin B\sin C$ である。一方 $s=\frac{a+b+c}{2}=R(\sin A+\sin B+\sin C)$ である。したがって

である。

ここで $A=2\alpha$、$B=2\beta$、$C=2\gamma$ であり、$\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}$ である。このとき $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$ が成り立つ。また $\sin A=2\sin \alpha \cos \alpha$ などであるから

である。

(2)

直角三角形であるとする。たとえば $A=\frac{\pi }{2}$ としてよい。このとき $\alpha =\frac{\pi }{4},\beta +\gamma =\frac{\pi }{4}$ である。(1)より $h=4\sin \frac{\pi }{4}\sin \beta \sin \gamma =2\sqrt{2}\sin \beta \sin \gamma$ である。

和 $\beta +\gamma$ が一定のとき、$\sin \beta \sin \gamma \leqq {\sin }^2\frac{\beta +\gamma }{2}$ であり、等号は $\beta =\gamma$ のときである。したがって $h\leqq 2\sqrt{2}{\sin }^2\frac{\pi }{8}$ である。さらに ${\sin }^2\frac{\pi }{8}=\frac{1-\cos \frac{\pi }{4}}{2}=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$ だから $\boxed{h\leqq \sqrt{2}-1}$ である。等号は $\beta =\gamma =\frac{\pi }{8}$ のとき、すなわち直角をはさむ2角が等しい直角二等辺三角形のときに成り立つ。

(3)

一般の三角形では $\alpha +\beta +\gamma =\frac{\pi }{2}$ である。2つの正の角 $x,y$ について、和を一定にすると $\sin x\sin y\leqq {\sin }^2\frac{x+y}{2}$ であり、等号は $x=y$ のときである。したがって、$\alpha ,\beta ,\gamma$ のうち等しくない2つを平均に置き換えると、$\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma$ は小さくならない。

これを繰り返すと、積が最大になるのは $\alpha =\beta =\gamma =\frac{\pi }{6}$ のときである。よって

である。等号は $\alpha =\beta =\gamma$ すなわち $A=B=C$ のときであり、三角形 $ABC$ が正三角形のときに限る。