東北大学 2018年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$n$ を2以上， $a$ を1以上の整数とする。箱の中に，1から $n$ までの番号札がそれぞれ1枚ずつ，合計 $n$ 枚入っている。この箱から，1枚の札を無作為に取り出して元に戻す，という試行を $a$ 回繰り返す。ちょうど $a$ 回目の試行でそれまでに取り出した札に書かれた数の和がはじめて $n$ 以上となる確率を $p (a)$ とする。

(1) $p (1)$ と $p (n)$ を求めよ。

(2) $p (2)$ を求めよ。

(3) $n$ が3以上の整数のとき $p (3)$ を求めよ。

出典：東北大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

$p (1), p (n), p (2)$ は文系第2問と同じ数え方で処理する。 $p (3)$ では、最初の2回の和を $s$ とおく。3回目ではじめて和が $n$ 以上になるには $2 ≦ s ≦ n - 1$ であり、最初の2回で和が $s$ になる順序つきの出方は $s - 1$ 通り、3回目の札は $n - s$ 以上で $s + 1$ 通りである。この積を足し上げる。

解答

(1)

1回目で初めて和が $n$ 以上になるには、1回目に $n$ を取り出すしかない。したがって $p (1) = \frac{1}{n}$ である。

また、 $n$ 回目で初めて和が $n$ 以上になるには、最初の $n - 1$ 回の和が $n$ 未満でなければならない。各回の値は1以上なので、最初の $n - 1$ 回がすべて1である場合しかない。この場合、 $n$ 回目は何を引いてもよい。よって $p (n) = (\frac{1}{n})^{n - 1}$ である。

(2)

1回目に $i$ を取り出すとする。2回目ではじめて和が $n$ 以上になるためには $1 ≦ i ≦ n - 1$ であり、2回目は $n - i$ 以上の数を取り出せばよい。その選び方は $n - i, n - i + 1, \dots, n$ の $i + 1$ 通りである。したがって

p (2) = \frac{\sum _{i = 1}^{n - 1} ( i + 1 )}{n ^{2}} = \frac{( n - 1 ) ( n + 2 )}{2 n ^{2}}

である。

(3)

最初の2回の和を $s$ とする。3回目ではじめて和が $n$ 以上になるには、最初の2回の和が $n$ 未満であるから $2 ≦ s ≦ n - 1$ である。和が $s$ となる最初の2回の順序つきの出方は $(1, s - 1), (2, s - 2), \dots, (s - 1, 1)$ の $s - 1$ 通りである。

このとき3回目には $n - s$ 以上の札を取り出せばよい。選び方は $n - s, n - s + 1, \dots, n$ の $s + 1$ 通りである。したがって有利な出方の数は $\sum_{s = 2}^{n - 1} (s - 1) (s + 1) = \sum_{s = 2}^{n - 1} (s^{2} - 1)$ である。これを計算すると

s = 2 \sum n - 1 (s^{2} - 1) = \frac{( n - 1 ) n ( 2 n - 1 )}{6} - n + 1 = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( 2 n + 3 )}{6}

である。全事象は $n^{3}$ 通りなので $p (3) = \frac{( n - 2 ) ( n - 1 ) ( 2 n + 3 )}{6 n ^{3}}$ である。

東北大学 2018年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2018年度
理系数学前期第2問