問題
整数，は等式
を満たしているとする。
(1) ，はともに正となることを示せ。
(2) ならば，は偶数であることを示せ。
(3) (*)を満たす整数の組をすべてあげよ。
出典：東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
まず等式から と見て、 が正であることを確定する。すると は正の整数になるので、 も正でなければならない。 では が4の倍数であることから、 となり、 が偶数と分かる。最後は と に分け、偶数 の場合に差の平方として因数分解する。
解答
(1)
与えられた等式は と書ける。右辺は1より大きい正の数であるから であり、したがって である。
このとき は正の整数であり、 である。もし なら である。ところが は正の整数なので、 がこれに等しいには しかない。しかし なら であり、等式は となって整数 では不可能である。よって である。
(2)
とする。このとき は4の倍数である。したがって を4で割った余りで見ると である。 なので である。これが1に合同であるためには、 は偶数でなければならない。
(3)
まず の場合、 より だから である。
次に とする。(2)より は偶数なので とおける。このとき であるから である。左辺の2つの因数はいずれも正の整数で、その積が2の累乗なので、それぞれも2の累乗である。しかも差は である。
2つの2の累乗が2だけ異なるには、 でなければならない。したがって より である。このとき なので である。
以上より、求める整数の組は である。