東北大学 2018年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$α$ を複素数とする。複素数 $z$ の方程式

z^{2} - α z + 2 i = 0 \dots\dots (*)

について，以下の問いに答えよ。ただし， $i$ は虚数単位である。

(1) 方程式(*)が実数解をもつように $α$ が動くとき，点 $α$ が複素数平面上に描く図形を図示せよ。

(2) 方程式(*)が絶対値1の複素数を解にもつように $α$ が動くとする。原点を中心に $α$ を $\frac{π}{4}$ 回転させた点を表す複素数を $β$ とするとき，点 $β$ が複素数平面上に描く図形を図示せよ。

出典：東北大学 2018年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

方程式を $α$ について解くと、指定された種類の解 $z$ をもつ条件は $α = z + 2 i / z$ で表せる。(1)は実数解 $z = t$ とおき、 $α = X + Y i$ の実部・虚部を読むと双曲線になる。(2)は $∣ z ∣ = 1$ なので $1/ z = \overline{z}$ を使い、 $z = cos θ + i sin θ$ とおく。さらに $π /4$ 回転後の $β$ の実部・虚部を計算し、楕円の方程式に直す。

解答

(1)

方程式 $z^{2} - α z + 2 i = 0$ が実数解をもつとする。その実数解を $z = t$ とおく。定数項が $2 i$ なので $t \neq = 0$ である。方程式から $α = t + \frac{2 i}{t}$ である。 $α = X + Y i$ とおくと $X = t, Y = \frac{2}{t}$ である。したがって $X Y = 2$ である。逆に、 $X Y = 2$ を満たす点は $X \neq = 0$ であり、 $t = X$ とおけば $α = t + 2 i / t$ と表せるので、実数解 $z = t$ をもつ。

よって点 $α$ の軌跡は $X Y = 2$ である。これは第1象限と第3象限にある直角双曲線である。

(2)

絶対値1の解を $z = cos θ + i sin θ$ とおく。このとき $\frac{1}{z} = \overline{z} = cos θ - i sin θ$ である。したがって

α = z + \frac{2 i}{z} = cos θ + i sin θ + 2 i (cos θ - i sin θ) = (cos θ + 2 sin θ) + i (sin θ + 2 cos θ)

である。 $β$ は $α$ を原点中心に $\frac{π}{4}$ 回転した点なので $β = \frac{1 + i}{2} α$ である。 $β = u + v i$ とおくと

u = \frac{( cos θ + 2 sin θ ) - ( sin θ + 2 cos θ )}{2} = \frac{sin θ - cos θ}{2}

であり、

v = \frac{( cos θ + 2 sin θ ) + ( sin θ + 2 cos θ )}{2} = \frac{3 ( sin θ + cos θ )}{2}

である。よって

u^{2} + \frac{v ^{2}}{9} = \frac{( sin θ - cos θ ) ^{2} + ( sin θ + cos θ ) ^{2}}{2} = 1

である。

逆に任意の $θ$ でこの形の点が得られるので、軌跡は $u^{2} + \frac{v ^{2}}{9} = 1$ である。すなわち、原点中心、実軸方向の半径1、虚軸方向の半径3の楕円である。

別解。 $α$ の軌跡を先に線形変換として見ることもできる。 $∣ z ∣ = 1$ のとき $z$ は単位円上を動き、 $z$ と $\overline{z}$ の係数付き和 $α = z + 2 i \overline{z}$ は、単位円をある楕円へ写す。さらに $π /4$ 回転は長さを変えない線形変換なので、主軸方向だけが整理され、 $u^{2} + v^{2} /9 = 1$ の形になる。

東北大学 2018年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2018年度
理系数学前期第5問