東北大学 2018年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

数列 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}, \dots$ を

a_{n} = 2^{n} \int_{1}^{e} x (lo g x)^{n} d x

で定める。ただし $e$ は自然対数の底であり，無理数であることが知られている。

(1) 不等式 $\frac{1}{2 ( n + 1 )} ≦ a_{n} ≦ \frac{e}{2 ( n + 1 )}$ を示せ。

(2) 各 $n$ に対して $a_{n} = p_{n} e + q_{n}$ となるように有理数 $p_{n}$ ， $q_{n}$ をとる。 $n ≧ 2$ のとき， $p_{n}$ を $p_{n - 1}$ で， $q_{n}$ を $q_{n - 1}$ でそれぞれ表せ。

(3) $n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n} p _{n}}{n !}$ を求めよ。

出典：東北大学 2018年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

置換 $t = 2 lo g x$ により、積分を $a_{n} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} t^{n} d t$ に直す。(1)は $0 ≦ t ≦ 1$ で $1 ≦ e^{t} ≦ e$ を使う。(2)は部分積分で $a_{n} = e /2 - n a_{n - 1}$ を得て、 $p_{n}, q_{n}$ の漸化式に移す。(3)は $q_{n}$ を明示し、 $(- 1)^{n} a_{n} / n! \to 0$ と(1)の評価から $(- 1)^{n} p_{n} / n!$ の極限を取り出す。

解答

(1)

$t = 2 lo g x$ とおく。このとき $x = e^{t /2}, d x = \frac{1}{2} e^{t /2} d t$ であり、 $x = 1$ のとき $t = 0$ 、 $x = e$ のとき $t = 1$ である。したがって

a_{n} = 2^{n} \int_{1}^{e} x (lo g x)^{n} d x = 2^{n} \int_{0}^{1} e^{t /2} (\frac{t}{2})^{n} \frac{1}{2} e^{t /2} d t = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} t^{n} d t

である。 $0 ≦ t ≦ 1$ では $1 ≦ e^{t} ≦ e$ であるから $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} t^{n} d t ≦ a_{n} ≦ \frac{e}{2} \int_{0}^{1} t^{n} d t$ である。よって $\frac{1}{2 ( n + 1 )} ≦ a_{n} ≦ \frac{e}{2 ( n + 1 )}$ である。

(2)

$a_{n} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} t^{n} d t$ を部分積分する。 $t^{n}$ を微分する側に取ると

a_{n} = \frac{1}{2} ([e^{t} t^{n}]_{0}^{1} - n \int_{0}^{1} e^{t} t^{n - 1} d t) = \frac{e}{2} - n a_{n - 1}

である。 $a_{n - 1} = p_{n - 1} e + q_{n - 1}$ と書くと $a_{n} = (\frac{1}{2} - n p_{n - 1}) e - n q_{n - 1}$ である。 $e$ は無理数なので、この表し方の係数は一意である。したがって $p_{n} = \frac{1}{2} - n p_{n - 1}, q_{n} = - n q_{n - 1}$ である。

(3)

まず $a_{1} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} t d t = \frac{1}{2}$ であるから $p_{1} = 0, q_{1} = \frac{1}{2}$ である。(2)より $q_{n} = - n q_{n - 1}$ なので $q_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1} n !}{2}$ である。

したがって $a_{n} = p_{n} e + \frac{( - 1 ) ^{n - 1} n !}{2}$ であり、両辺に $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n !}$ を掛けると $\frac{( - 1 ) ^{n} a _{n}}{n !} = \frac{( - 1 ) ^{n} p _{n}}{n !} e - \frac{1}{2}$ である。

(1)より $0 < a_{n} ≦ \frac{e}{2 ( n + 1 )}$ なので $\frac{a _{n}}{n !} \to 0$ である。よって上の式で極限を取ると $0 = e lim_{n \to \infty} \frac{( - 1 ) ^{n} p _{n}}{n !} - \frac{1}{2}$ となる。したがって $n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n} p _{n}}{n !} = \frac{1}{2 e}$ である。

別解。(2)の漸化式は、 $I_{n} = \int_{0}^{1} e^{t} t^{n} d t$ と置いて $I_{n} = e - n I_{n - 1}$ を先に作り、最後に $a_{n} = I_{n} /2$ へ戻してもよい。この形で見ると、 $p_{n}$ は $e$ の係数、 $q_{n}$ は有理部分として交互に符号を変えながら階乗倍されることが直接読み取れる。

東北大学 2018年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2018年度
後期・理系数学後期第6問