問題
点を中心とした半径1の円をとする。
(1) の周上に3点，，が，この順に反時計回りに並んでいる。，とする。ただし，，である。の面積はで与えられることを示せ。
(2) の周上に5点，，，，が，この順に反時計回りに並んでいる。ただし，，，であり，点はとの間を動くものとする。の面積との面積の和の最大値を求めよ。また，そのときのを求めよ。
出典：東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第2問
方針
(1)は半径1の円の中心 と各頂点を結び、、 から を引く面積分解で示す。(2)は から反時計回りに測った の偏角を と置く。点の順序から である。(1)を と に適用し、面積和を に整理して最大化する。
解答
(1)
半径1の円なので である。点 がこの順に反時計回りに並ぶので、中心 と結ぶと、三角形 の面積は で求められる。
それぞれの面積は、2辺とその間の角から
である。したがって である。
(2)
から反時計回りに測った の偏角を とする。点の順序より である。
まず の面積を求める。円周上の順序を と見て(1)を用いると、
である。すなわち である。
次に について、円周上の順序を と見る。 であり、 の偏角は 、 の偏角は であるから
である。ここで
なので である。
したがって面積の和は である。 において、 が最大になるのは のときである。よって最大値は である。このとき、通常の小さい方の角 は である。