問題
辺の長さが1である正四面体および，点を考える。
で定まる点をとする。
(1) および内積を求めよ。
(2) 点は正四面体の表面および内部を動くとする。このとき
の最大値および最小値を求めよ。
出典：東北大学 2018年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第5問
方針
点 は正四面体の4頂点の重心であり、 が成り立つ。対称性から4本の長さは等しく、異なる2本の内積も等しいとして、和が0である条件と辺の長さ1である条件から求める。(2)では とおき、 を だけの式にする。正四面体内で は重心で最小、頂点で最大になる。
解答
(1)
定義より は4頂点の重心である。したがって
である。正四面体の対称性より とおき、異なる2頂点へのベクトルの内積を とおくことができる。
上の和と の内積を取ると である。また辺 の長さは1なので
である。この2式を解くと である。したがって であり、 である。
(2)
とおく。このとき であり、他の頂点についても同様である。よって
である。最後の和は なので消える。また(1)より各 は である。したがって である。
点 が正四面体の表面および内部を動くとき、 の最小値は のときの0である。また、任意の内部点は頂点の凸結合で表されるので、 は頂点までの距離 を超えない。最大は頂点で達成される。
したがって であり、 である。よって である。
別解。具体的な座標を置いても確認できる。例えば重心を原点に取り、4頂点を対称に配置すれば、各頂点ベクトルの和は で、どの2頂点間の距離も1になる。すると各頂点ベクトルの長さが等しいことと相互の内積が等しいことがすぐに分かり、本文と同じ2式 、 に帰着する。